Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，﹣1），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△MAB的形狀，并說明理由；
（3）過原點(diǎn)的任意直線（不與y軸重合）交拋物線于C、D兩點(diǎn)，連接MC，MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，﹣1），

∴ ，解得b=0，c=﹣1，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣1

（2）

解：△MAB是等腰直角三角形．

由拋物線的解析式為：y=x2﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），

∴OA=OB=OM=1，

∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°，

∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM，

∴△MAB是等腰直角三角形

（3）

解：MC⊥MD；

分別過C點(diǎn)，D點(diǎn)作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點(diǎn)作x軸的平行線交EC延長(zhǎng)線于G，交DF于H，

設(shè)D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），

∴OE=﹣n，CE=1﹣n2，OF=m，DF=m2﹣1，

∵OM=1，

∴CG=n2，DH=m2，

∵EG∥DH，

∴ ，

即 = ，

m（1﹣n2）=﹣n（m2﹣1），

m﹣mn2=﹣m2n+n，

（m2n﹣mn2）=﹣m+n，

mn（m﹣n）=﹣（m﹣n），

∴mn=﹣1

解得m=﹣ ，

∵ = =﹣n， = = =﹣n，

∴ = ，

∵∠CGM=∠MHD=90°，

∴△CGM∽△MHD，

∴∠CMG=∠MDH，

∵∠MDH+∠DMH=90°

∴∠CMG+∠DMH=90°，

∴∠CMD=90°，

即MC⊥MD．

【解析】（1）待定系數(shù)法即可解得．（2）由拋物線的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形．（3）分別過C點(diǎn)，D點(diǎn)作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點(diǎn)作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，設(shè)D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），通過EG∥DH，得出 ，從而求得m、n的關(guān)系，根據(jù)m、n的關(guān)系，得出△CGM∽△MHD，利用對(duì)應(yīng)角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�