【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與
軸的一個交點為
,另一個交點為
,且與
軸相交于
點
(1)則_________;
點坐標為___________;
(2)在直線上方的拋物線上是否存在一點
,使得它與
,
兩點構(gòu)成的三角形面積最大,若存在,求出此時
點坐標;若不存在,請簡要說明理由.
(3)為拋物線上一點,它關(guān)于直線
的對稱點為
①當(dāng)四邊形為菱形時,求點
的坐標;
②點的橫坐標為
,當(dāng)
________時,四邊形
的面積最大.
【答案】(1)4,(0,4);(2)存在,(2,6);(3)①點坐標為
或
;②2.
【解析】
(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;
(2)先判斷出面積最大時,平移直線BC的直線和拋物線只有一個交點,從而求出點M坐標;
(3)①先判斷出四邊形PBQC時菱形時,點P是線段BC的垂直平分線,利用該特殊性建立方程求解;
②先求出四邊形PBCQ的面積與t的函數(shù)關(guān)系式,從而確定出它的最大值.
解:(1)將B(4,0)代入y=-x2+3x+m,
解得,m=4,
∴二次函數(shù)解析式為y=-x2+3x+4,
令x=0,得y=4,
∴C(0,4),
故答案為:4,(0,4);
(2)存在,
理由:∵B(4,0),C(0,4),
∴直線BC解析式為y=-x+4,
當(dāng)直線BC向上平移b單位后和拋物線只有一個公共點時,△MBC面積最大,
∴,
∴x2-4x+b=0,
∴△=16-4b=0,
∴b=4,
∴,
∴M(2,6),
(3)①如圖,
∵點P在拋物線上,
∴設(shè)P(m,-m2+3m+4),
當(dāng)四邊形PBQC是菱形時,點P在線段BC的垂直平分線上,
∵B(4,0),C(0,4)
∴線段BC的垂直平分線的解析式為y=x,
∴m=-m2+3m+4,
∴m=1±,
∴P(1+,1+
)或P(1-
,1-
),
②如圖,
設(shè)點P(t,-t2+3t+4),
過點P作y軸的平行線l,過點C作l的垂線,
∵點D在直線BC上,
∴D(t,-t+4),
∵PD=-t2+3t+4-(-t+4)
=-t2+4t,
BE+CF=4,
∴S四邊形PBQC=2S△PCB
=2(S△PCD+S△PBD)
=2(PD×CF+
PD×BE)
=4PD
=-4t2+16t,
∵0<t<4,
∴當(dāng)t=2時,S四邊形PBQC最大=16,
故答案為:2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,對于點P(x,y)和Q(x,y′),給出如下定義:如果y′=,那么稱點Q為點P的“伴隨點”.
例如:點(5,6)的“伴隨點”為點(5,6);點(﹣5,6)的“伴隨點”為點(﹣5,﹣6).
(1)直接寫出點A(2,1)的“伴隨點”A′的坐標.
(2)點B(m,m+1)在函數(shù)y=kx+3的圖象上,若其“伴隨點”B′的縱坐標為2,求函數(shù)y=kx+3的解析式.
(3)點C、D在函數(shù)y=﹣x2+4的圖象上,且點C、D關(guān)于y軸對稱,點D的“伴隨點”為D′.若點C在第一象限,且CD=DD′,求此時“伴隨點”D′的橫坐標.
(4)點E在函數(shù)y=﹣x2+n(﹣1≤x≤2)的圖象上,若其“伴隨點”E′的縱坐標y′的最大值為m(1≤m≤3),直接寫出實數(shù)n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將平行四邊形紙片按如圖方式折疊,使點
與
重合,點
落到
處,折痕為
.
(1)求證:;
(2)連結(jié),判斷四邊形
是什么特殊四邊形?證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 拋物線與
軸交于點A(-1,0),頂點坐標(1,n)與
軸的交點在(0,2),(0,3)之間(包 含端點),則下列結(jié)論:①
;②
;③對于任意實數(shù)m,
總成立;④關(guān)于
的方程
有兩個不相等的實數(shù)根.其中結(jié)論正確的個數(shù)為
A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究:已知二次函數(shù)經(jīng)過點
.
(1)求該函數(shù)的表達式;
(2)如圖所示,點是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個動點,且點
的橫坐標為
,連接
,
,
.
①求的面積
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式;
②求的面積的最大值,并求出此時點
的坐標.
拓展:在平面直角坐標系中,點的坐標為
,
的坐標為
,若拋物線
與線段
有兩個不同的交點,請直接寫出
的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是邊長為
的等邊三角形,邊
在射線
上,且
,點
從點
出發(fā),沿OM的方向以1cm/s的速度運動,當(dāng)D不與點A重合時,將
繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到
,連接DE.
(1)如圖1,求證:是等邊三角形;
(2)如圖2,當(dāng)6<t<10時,DE是否存在最小值?若存在,求出DE的最小值;若不存在,請說明理由.
(3)當(dāng)點D在射線OM上運動時,是否存在以D,E,B為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖像交
軸于
,
兩點,交
軸于點
,連接
,已知
.
(1)點的坐標是______;
(2)若點是拋物線上的任意一點,連接
、
.
①當(dāng)與
的面積相等時,求點
的坐標;
②把沿著
翻折,若點
與拋物線對稱軸上的點
重合,直接寫出點
的橫坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在中,
,點
在
上,以
為直徑的
與
相交于點
,與
相交于點
,
平分
.
(1)求證:是
的切線;
(2)若,
,求圖中陰影部分的面積;
(3)若,
,求
.
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