Question

【題目】已知：BOA是一條公路，河流OP恰好經(jīng)過(guò)橋O平分∠AOB．

（1）如果要從P處移動(dòng)到公路上路徑最短，除圖中所示PM外，還可以選擇PN，求作這條路徑，兩條路徑的關(guān)系是______，理由是___________．

（2）河流下游處有一點(diǎn)Q，如果要從P點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)公路OA上的點(diǎn)C后再前往點(diǎn)Q，請(qǐng)你畫(huà)出一條最短路徑，表明點(diǎn)C的位置．

（3）D點(diǎn)在公路OB上，O點(diǎn)到D點(diǎn)的距離與C點(diǎn)相等，作出△CDP，求證：△CDP為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）對(duì)稱(chēng)；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，垂線(xiàn)段最短．（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析．（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)P作OA的垂線(xiàn)即可得；

（2）作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接P′Q，與OA的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；

（3）過(guò)點(diǎn)C作OQ的垂線(xiàn)，交OB于點(diǎn)D，依據(jù)中垂線(xiàn)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)證明即可得．

（1）線(xiàn)段PN為所求．

（2）P→C→Q路徑最短，點(diǎn)C即為所求．

（3）如圖，△CDP即為所求．

由題意得：

OC=OD，∠AOQ=∠BOQ，OP=OP，

∴△COP≌△DOP（SAS），

∴CP=DP，

∴△CDP為等腰三角形．