如圖,已知,分別是正方形邊、的中點(diǎn),與交于點(diǎn),、都垂直于平面,且,,是線段上一動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若平面,試求的值;
(Ⅲ)當(dāng)是中點(diǎn)時(shí),求二面角的余弦值.
解:法1:(Ⅰ)連結(jié),
∵平面,平面,∴,
又∵,,
∴平面,
又∵,分別是、的中點(diǎn),∴,
∴平面,又平面,
∴平面平面; ---------------4分
(Ⅱ)連結(jié),
∵平面,平面平面,
∴,
∴,故 -----------------8分
(Ⅲ)∵平面,平面,∴,
在等腰三角形中,點(diǎn)為的中點(diǎn),∴,
∴為所求二面角的平面角, ---------10分
∵點(diǎn)是的中點(diǎn),∴,
所以在矩形中,可求得,,, --------12分
在中,由余弦定理可求得,
∴二面角的余弦值為. --------------14分
法2:(Ⅰ)同法1;
(Ⅱ)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則,,,,
∴,,
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,平面的法向量為,則,
所以,即,令,則,,
故,
∵平面,∴,即,解得,
故,即點(diǎn)為線段上靠近的四等分點(diǎn);故 -------8分
(Ⅲ),則,設(shè)平面的法向量為,
則,即,令,
則,,即,
當(dāng)是中點(diǎn)時(shí),,則,
∴,
∴二面角的余弦值為-----14分
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A. (31,50) B. (32,47) C. (33,46) D. (34,42)
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