如圖,已知,分別是正方形的中點(diǎn),交于點(diǎn)、都垂直于平面,且,是線段上一動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)若平面,試求的值;

(Ⅲ)當(dāng)中點(diǎn)時(shí),求二面角的余弦值.


 解:法1:(Ⅰ)連結(jié),

平面,平面,∴,

又∵,

平面

又∵,分別是、的中點(diǎn),∴,

平面,又平面,

∴平面平面; ---------------4分

(Ⅱ)連結(jié)

平面,平面平面,

,

,故       -----------------8分

(Ⅲ)∵平面平面,∴

在等腰三角形中,點(diǎn)的中點(diǎn),∴,

為所求二面角的平面角,                ---------10分

∵點(diǎn)的中點(diǎn),∴,

所以在矩形中,可求得,,, --------12分

中,由余弦定理可求得,

∴二面角的余弦值為.         --------------14分

法2:(Ⅰ)同法1;

(Ⅱ)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則,,,,

,

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,平面的法向量為,則,

所以,即,令,則,,

,

平面,∴,即,解得,

,即點(diǎn)為線段上靠近的四等分點(diǎn);故   -------8分

(Ⅲ),則,設(shè)平面的法向量為,

,即,令,

,,即,

當(dāng)中點(diǎn)時(shí),,則

,

∴二面角的余弦值為-----14分


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