如圖1,已知拋物線經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E,頂點M的坐標為(2,4);矩形ABCD的頂點A與點O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動,設(shè)它們運動的時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點為N(如圖2所示).
①當(dāng)t=2秒時,判斷點P是否在直線ME上,并說明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)設(shè)出拋物線的頂點式y(tǒng)=a(x-2)2+4,將原點的坐標代入解析式就可以求出a的值,從而求出函數(shù)的解析式.
(2)①由(1)中拋物線的解析式可以求出E點的坐標,從而可以求出ME的解析式,再將P點的坐標代入直線的解析式就可以判斷P點是否在直線ME上.
②設(shè)出點N(t,-(t-2)2+4),可以表示出PN的值,根據(jù)梯形的面積公式可以表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式,從而可以求出結(jié)論.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-2)2+4,則有
0=4a+4,
∴a=-1,
∴拋物線的解析式為:y=-(x-2)2+4;

(2)①∵y=-(x-2)2+4,
∴當(dāng)y=0時,-(x-2)2+4=0,
∴x1=0,x2=4,
∴E(4,0),
設(shè)直線ME的解析式為:y=kx+b,則
,
解得:,
∴直線ME的解析式為:y=-2x+8,
∴當(dāng)t=2時,P(2,2),
∴當(dāng)x=2時,y=4=4,
∴當(dāng)t=2時,點P不在直線ME上.

②設(shè)點N(t,-(t-2)2+4),則P(t,t),
∴PN=-t2+3t,
∵AD=2,AB=3
∴S==-t2+3t+3,
∴S=-(t2-3t+-)+3=-(t-2+
∴當(dāng)t=時,S的最大值是
點評:此題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的最值,三角形的面積公式的運用,梯形的面積公式的運用.根據(jù)幾何關(guān)系巧妙設(shè)點,把面積用t表示出來,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求該農(nóng)產(chǎn)品的月平均價格y(元/千克)與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式?
(2)2011年的12個月中,這種農(nóng)產(chǎn)品的月平均價格哪個月最低?最低為多少?
(3)若以12個月份的月平均價格的平均數(shù)為年平均價格,月平均價格高于年平均價格的月份有哪些?

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探照燈、鍋蓋天線、汽車燈等都利用了拋物線的一個原理:由它的焦點處發(fā)出的光線被反射后將會被平行射出.如圖,由焦點O處發(fā)出的光線OB,OC經(jīng)反射后沿與POQ平行的方向射出,已知∠ABO=42°,∠DCO=53°,則∠BOC=
95°
95°

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(1)求該農(nóng)產(chǎn)品的月平均價格y(元/千克)與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式?
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