Question

5．如圖：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、G分別在AD、BC上，且DE=BG=1．
（1）判斷△BEC的形狀，并說明理由？
（2）判斷四邊形EFGH是什么特殊四邊形？并證明你的判斷．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出CD=2，根據(jù)勾股定理求出CE和BE，求出CE²+BE²的值，求出BC²，根據(jù)勾股定理的逆定理求出即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，推出平行四邊形DEBG和AECG，推出EH∥FG，EF∥HG，推出平行四邊形EFGH，根據(jù)矩形的判定推出即可．

解答 解：（1）△BEC是直角三角形：理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
同理BE=2$\sqrt{5}$，
∴CE²+BE²=5+20=25，
∵BC²=5²=25，
∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．
（2）四邊形EFGH為矩形，理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BG，
∴四邊形DEBG是平行四邊形，
∴BE∥DG，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BG，
∴AE=CG，
∴四邊形AECG是平行四邊形，
∴AG∥CE，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四邊形EFGH是矩形．

點評 本題綜合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識點的運用，主要培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，此題綜合性比較強，題型較好，難度也適中．