Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點D，連接AD，過D作AC的垂線，交AC邊于點E，交AB 邊的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若∠F=30°，BF=3，求弧AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2π.

【解析】

（1）根據圓周角定理求出AD⊥BC，得出AD平分∠BAC，即可推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根據切線的判定推出即可．
（2）由OD⊥DF得∠ODF=90°，利用含30度的直角三角形三邊的關系OF=2OD，即OB+3=2OD，可解得OD=3，再計算出∠AOD=90°+∠F=120°，然后根據弧長公式求解．

證明：（1）連接AD，OD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥EF，

∵OD過O，

∴EF是⊙O的切線．

（2）∵OD⊥DF，

∴∠ODF=90°，

∵∠F=30°，

∴OF=2OD，即OB+3=2OD，

而OB=OD，

∴OD=3，

∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°，

∴的長度=.