Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，D是⊙O上于點(diǎn)，且弧BC=弧CD，弦AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交切線(xiàn)PC于點(diǎn)E，連接AC．

（1）求∠E的度數(shù)；

（2）若⊙O的直徑為5，sinP＝，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）4

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC＝∠OCA，∠OAC＝∠CAD，推出OC∥AE，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠E＝∠OCP．根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）運(yùn)用三角函數(shù)值在Rt△OCP中求得OP，然后在Rt△APE中求得AE即可.

解：（1）連接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵弧BC＝弧CD，

∴∠OAC＝∠CAD，

∴∠OCA＝∠CAD，

∴OC∥AE，

∴∠E＝∠OCP，

∵PE是的切線(xiàn)，C為切點(diǎn)，

∴∠OCP＝90°．

∴∠E＝90°；

（2）在Rt△OCP中，OC＝ =2.5，sin∠P＝，

∴OP＝，

在Rt△APE中，AP＝+2.5＝，sin∠P＝，

∴AE＝4．