Question

【題目】（題文）如圖，在等腰直角三角形MNC中，CN＝MN＝，將△MNC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABC，連接AM，BM，BM交AC于點(diǎn)O.

(1)∠NCO的度數(shù)為________；

(2)求證：△CAM為等邊三角形；

(3)連接AN，求線段AN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）證明見解析；（3）

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得∠ACM=60°，再根據(jù)等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，運(yùn)用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得到∠NCO的度數(shù)；

（2）根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形進(jìn)行證明即可；

（3）根據(jù)△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等邊三角形，判定△ACN≌△AMN，再根據(jù)Rt△ACD中，AD=CD=，等腰Rt△MNC中，DN=CM=1，即可得到AN=AD﹣ND=﹣1．

（1）由旋轉(zhuǎn)可得∠ACM=60°．

又∵等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，∴∠NCO=60°﹣45°=15°；

故答案為：15°；

（2）∵∠ACM=60°，CM=CA，∴△CAM為等邊三角形；

（3）連接AN并延長(zhǎng)，交CM于D．

∵△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等邊三角形，∴NC=NM=，CM=2，AC=AM=2．在△ACN和△AMN中，∵，∴△ACN≌△AMN（SSS），∴∠CAN=∠MAN，∴AD⊥CM，CD=CM=1，∴Rt△ACD中，AD=CD=，等腰Rt△MNC中，DN=CM=1，∴AN=AD﹣ND=﹣1．