Question

17．如圖，二次函數(shù)y=x²-4x的圖象與x軸、直線y=x的一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，CD是線段OB上的一動(dòng)線段，且CD=2，過(guò)點(diǎn)C、D的兩直線都平行于y軸，與拋物線相交于點(diǎn)F、E，連接EF．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），線段OB的長(zhǎng)=5$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m
①當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時(shí)，求m的值；
②連接AC、AD，求m為何值時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)y=x²-4x中，令y=0，則0=x²-4x，可求得A（4，0），解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$，可得B（5，5），進(jìn)而得出OB的長(zhǎng)；
（2）①根據(jù)C（m，m），F(xiàn)（m，m²-4m），可得CF=m-（m+$\sqrt{2}$），根據(jù)D（m+$\sqrt{2}$，m+$\sqrt{2}$），E（m+$\sqrt{2}$，（m+$\sqrt{2}$）²-4（m+$\sqrt{2}$）），可得DE=m+$\sqrt{2}$-[（m+$\sqrt{2}$）²-4（m+$\sqrt{2}$）]，最后根據(jù)當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時(shí)，CF=DE，求得m的值即可；
②先過(guò)點(diǎn)A作CD的平行線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，交于點(diǎn)G，則四邊形ACDG是平行四邊形，得出AC=DG，再作點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'D，則A'D=AD，根據(jù)當(dāng)A'，D，G三點(diǎn)共線時(shí)，A'D+DG=A'G最短，可得此時(shí)AC+AD最短，然后求得直線A'G的解析式為y=-$\frac{9-4\sqrt{2}}{7}$x+4，解方程組可得D（2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$，2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$），C（2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$），最后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，求得△ACD的周長(zhǎng)的最小值．

解答 解：（1）∵y=x²-4x中，令y=0，則0=x²-4x，
解得x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0），
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-4x}\end{array}\right.$，可得
$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴B（5，5），
∴OB=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
故答案為：（4，0），5$\sqrt{2}$；

（2）①∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，且CF∥DE∥y軸，
∴C（m，m），F(xiàn)（m，m²-4m），
又∵CD=2，且CD是線段OB上的一動(dòng)線段，
∴D（m+$\sqrt{2}$，m+$\sqrt{2}$），E（m+$\sqrt{2}$，（m+$\sqrt{2}$）²-4（m+$\sqrt{2}$）），
∴CF=m-（m+$\sqrt{2}$），DE=m+$\sqrt{2}$-[（m+$\sqrt{2}$）²-4（m+$\sqrt{2}$）]，
∵當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時(shí)，CF=DE，
∴m-（m+$\sqrt{2}$）=m+$\sqrt{2}$-[（m+$\sqrt{2}$）²-4（m+$\sqrt{2}$）]，
解得m=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$；

②如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作CD的平行線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，交于點(diǎn)G，則四邊形ACDG是平行四邊形，
∴AC=DG，
作點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'D，則A'D=AD，
∴當(dāng)A'，D，G三點(diǎn)共線時(shí)，A'D+DG=A'G最短，此時(shí)AC+AD最短，
∵A（4，0），AG=CD=2，
∴A'（0，4），G（4+$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
設(shè)直線A'G的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{\sqrt{2}=（4+\sqrt{2}）k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{9-4\sqrt{2}}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線A'G的解析式為y=-$\frac{9-4\sqrt{2}}{7}$x+4，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{9-4\sqrt{2}}{7}x+4}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\{y=2+\frac{1}{2}\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴D（2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$，2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$），
∵CD=2，且CD是線段OB上的一動(dòng)線段，
∴C（2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$），
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m=2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，
由A（4，0），C（2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$）可得，AC=$\sqrt{（4-2+\frac{1}{2}\sqrt{2}）^{2}+（0-2+\frac{1}{2}\sqrt{2}）^{2}}$=3，
由A（4，0），D（2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$，2+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$）可得，AD=$\sqrt{（4-2-\frac{1}{2}\sqrt{2}）^{2}+（2+\frac{1}{2}\sqrt{2}）^{2}}$=3，
又∵CD=2，
∴△ACD的周長(zhǎng)=CD+AC+AD=2+3+3=8，
故當(dāng)m=2-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)最小，這個(gè)最小值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算，兩點(diǎn)間的距離公式，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等以及兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行計(jì)算求解．解題時(shí)注意方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．