△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點F、G分別落在AC、AB上．

Ⅰ．證明：△BDG≌△CEF；

Ⅱ．探究：怎樣在鐵片上準確地畫出正方形．

小聰和小明各給出了一種想法，請你在Ⅱa和Ⅱb的兩個問題中選擇一個你喜歡的問題解答．如果兩題都解，只以Ⅱa的解答記分．

Ⅱa．小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長，從而確定D點和E點，再畫正方形DEFG就容易了．

設△ABC的邊長為2，請你幫小聰求出正方形的邊長(結果用含根號的式子表示，不要求分母有理化)．

Ⅱb．小明想：不求正方形的邊長也能畫出正方形．具體作法是：

①在AB邊上任取一點，如圖作正方形；

②連結B并延長交AC于F；

③作FE∥交BC于E，FG∥交AB于G，GD∥交BC于D，則四邊形DEFG即為所求．

你認為小明的作法正確嗎？說明理由．

答案：
解析：

　　Ⅰ．證明：∵DEFG為正方形，

　　∴GD＝FE，∠GDB＝∠FEC＝90°　2分

　　∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°　3分

　　∴△BDG≌△CEF(AAS)　5分

　�、�a．解法一：設正方形的邊長為x，作△ABC的高AH，

　　求得　7分

　　由△AGF∽△ABC得：　9分

　　解之得：(或)　10分

　　解法二：設正方形的邊長為x，則　7分

　　在Rt△BDG中，tan∠B＝，

　　∴　9分

　　解之得：(或)　10分

　　解法三：設正方形的邊長為x，

　　則　7分

　　由勾股定理得：　9分

　　解之得：　10分

　�、�b．解：正確　6分

　　由已知可知，四邊形GDEF為矩形　7分

　　∵FE∥，

　　∴，

　　同理，

　　∴

　　又∵＝，

　　∴FE＝FG

　　因此，矩形GDEF為正方形　10分


練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀材料并解答問題：
我國是最早了解和應用勾股定理的國家之一，古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都很重視對勾股定理的研究和應用，古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯首先證明了勾股定理，在西方，勾股定理又稱為“畢達哥拉斯定理”．
關于勾股定理的研究還有一個很重要的內容是勾股數(shù)組，在《幾何》課本中我們已經(jīng)了解到，“能夠成為直角三角形三條邊的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)”，以下是畢達哥拉斯等學派研究出的確定勾股數(shù)組的兩種方法：
方法1：若m為奇數(shù)（m≥3），則a=m，b=
1
2
（m2-1）和c=
1
2
（m2+1）是勾股數(shù)．
方法2：若任取兩個正整數(shù)m和n（m＞n），則a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股數(shù)．
（1）在以上兩種方法中任選一種，證明以a，b，c為邊長的△ABC是直角三角形；
（2）請根據(jù)方法1和方法2按規(guī)律填寫下列表格：
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（3）某園林管理處要在一塊綠地上植樹，使之構成如下圖所示的圖案景觀，該圖案由四個全等的直角三角形組成，要求每個三角形頂點處都植一棵樹，各邊上相鄰兩棵樹之間的距離均為1米，如果每個三角形最短邊上都植6棵樹，且每個三角形的各邊長之比為5：12：13，那么這四個直角三角形的邊長共需植樹
 
棵．
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知：如圖（1）AD是△ABC中BC邊的中線，則S△ABD=S△ACD，依據(jù)是
等底同高
等底同高
．
（2）如圖2梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，請找出圖中三對面積相等的三角形，
△ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC
△ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC
．
（3）李明家有一塊四邊形田地，如圖3所示．AE是一條小路，它把田地分成了面積相等的兩部分（小路寬忽略不計）．在CD邊上點F處有一口水井，為方便灌溉田地，李明打算過點F修一條筆直的水渠，且要求水渠也把整個田地分成面積相等的兩部分（水渠寬忽略不計）．請你幫李明設計出修水渠的方案，作圖并寫出設計方案．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

我國是最早了解和應用勾股定理的國家之一，古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都很重視對勾股定理的研究和應用，古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯首先證明了勾股定理，在西方，勾股定理又稱為“畢達哥拉斯定理”．
關于勾股定理的研究還有一個很重要的內容是勾股數(shù)組，在《幾何》課本中我們已經(jīng)了解到，“能夠成為直角三角形三條邊的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)”，以下是畢達哥拉斯等學派研究出的確定勾股數(shù)組的兩種方法：
方法1：若m為奇數(shù)（m≥3），則a=m，b=數(shù)學公式（m2-1）和c=數(shù)學公式（m2+1）是勾股數(shù)．
方法2：若任取兩個正整數(shù)m和n（m＞n），則a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股數(shù)．
（1）在以上兩種方法中任選一種，證明以a，b，c為邊長的△ABC是直角三角形；
（2）請根據(jù)方法1和方法2按規(guī)律填寫下列表格：

（3）某園林管理處要在一塊綠地上植樹，使之構成如下圖所示的圖案景觀，該圖案由四個全等的直角三角形組成，要求每個三角形頂點處都植一棵樹，各邊上相鄰兩棵樹之間的距離均為1米，如果每個三角形最短邊上都植6棵樹，且每個三角形的各邊長之比為5：12：13，那么這四個直角三角形的邊長共需植樹______棵．

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