Question

閱讀材料并解答問(wèn)題：
我國(guó)是最早了解和應(yīng)用勾股定理的國(guó)家之一，古代印度、希臘、阿拉伯等許多國(guó)家也都很重視對(duì)勾股定理的研究和應(yīng)用，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯首先證明了勾股定理，在西方，勾股定理又稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”．
關(guān)于勾股定理的研究還有一個(gè)很重要的內(nèi)容是勾股數(shù)組，在《幾何》課本中我們已經(jīng)了解到，“能夠成為直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)”，以下是畢達(dá)哥拉斯等學(xué)派研究出的確定勾股數(shù)組的兩種方法：
方法1：若m為奇數(shù)（m≥3），則a=m，b=

1

2

（m²-1）和c=

1

2

（m²+1）是勾股數(shù)．
方法2：若任取兩個(gè)正整數(shù)m和n（m＞n），則a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²是勾股數(shù)．
（1）在以上兩種方法中任選一種，證明以a，b，c為邊長(zhǎng)的△ABC是直角三角形；
（2）請(qǐng)根據(jù)方法1和方法2按規(guī)律填寫(xiě)下列表格：

（3）某園林管理處要在一塊綠地上植樹(shù)，使之構(gòu)成如下圖所示的圖案景觀，該圖案由四個(gè)全等的直角三角形組成，要求每個(gè)三角形頂點(diǎn)處都植一棵樹(shù)，各邊上相鄰兩棵樹(shù)之間的距離均為1米，如果每個(gè)三角形最短邊上都植6棵樹(shù)，且每個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)之比為5：12：13，那么這四個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)共需植樹(shù)

 

棵．

Answer 1

分析：（1）先比較三邊的大小，確定為斜邊的是c，再求a²+b²=[

1

2

（m²+1）]²=c²；
（2）按規(guī)律，方法1該填7、9對(duì)應(yīng)的值；方法2該填5、2；5、1對(duì)應(yīng)的值；
（3）由各邊上相鄰兩棵樹(shù)之間的距離均為1米，如果每個(gè)三角形最短邊上都植6棵樹(shù)，可得三角形最短邊為5米，又有各邊長(zhǎng)之比為5：12：13，可得其他兩邊分別為12、13米．則每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)可植樹(shù)5+12+13=30棵，四個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)共需植樹(shù)120棵．

解答：解：（1）方法1、c-a=

1

2

（m²+1）-m=

1

2

（m²-2m+1）=

1

2

（m-1）²＞0，c-b=1＞0，
所以c＞a，c＞b．而a²+b²=m²+[

1

2

（m²-1）]²=（

1

4

m⁴-2m²+1）+m²
=

1

4

（m⁴+2m²+1）=[

1

2

（m²+1）]²=c²，
所以以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．
同理可證方法2．

（2）方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41．
方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．

（3）∵各邊上相鄰兩棵樹(shù)之間的距離均為1米，如果每個(gè)三角形最短邊上都植6棵樹(shù)，
∴三角形最短邊為5米，
又∵各邊長(zhǎng)之比為5：12：13，
∴其他兩邊分別為12、13米．
∴每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)可植樹(shù)5+12+13=30棵，
∴四個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)共需植樹(shù)120棵．

點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是讓學(xué)生熟悉勾股數(shù)的定義，經(jīng)常用的勾股數(shù)應(yīng)該識(shí)記．