Question

【題目】如圖，四邊形ABCD、BEFG均為正方形．

（1）如圖1，連接AG、CE，試判斷AG和CE的數量關系和位置關系為　 　（直接寫結果）

（2）將正方形BEFG繞點B順時針旋轉β角（0°＜β＜180°），如圖2，連接AG、CE相交于點M，連接MB，當角β發(fā)生變化時，AG和CE的數量關系和位置關系是否發(fā)生變化？請說明理由．

（3）在（2）的條件下，如備用圖，連接MB，過點A作AN⊥MB交MB的延長線于點N，若MB＝3，正方形ABCD的邊長為3，求BN的長．

Answer 1

【答案】（1）AG＝EC，AG⊥EC；（2）結論不變，見解析；（3）BN＝.

【解析】

（1）AG=EC，AG⊥EC，理由為：由正方形BEFG與正方形ABCD，利用正方形的性質得到兩對邊相等，一對直角相等，利用SAS得出三角形ABG與三角形CBE全等，利用全等三角形的對應邊相等，對應角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得證；
（2）結論不變，理由為：利用SAS得出三角形ABG與三角形BEC全等即可解決問題；
（3）過B作BP⊥EC，BH⊥AM，首先證明BM平分∠BME，再證明CM=BN，求出MC即可解決問題；

解：（1）AG=EC，AG⊥EC，
理由為：如圖1中，

∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABG和△BEC中，
，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，
延長CE交AG于點M，
∴∠BEC=∠AEM，
∴∠ABC=∠AME=90°，
∴AG=EC，AG⊥EC；
故答案為AG=EC，AG⊥EC，

（2）結論不變．
理由為：如圖2中，設AM交BC于O．

∵∠EBG=∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠EBC，
在△ABG和△CEB中，
,

，
∴△ABG≌△CEB（SAS），
∴AG=EC，∠BAG=∠BCE，
∵∠BAG+∠AOB=90°，∠AOB=∠COM，
∴∠BCE+∠COM=90°，
∴∠OMC=90°，
∴AG⊥EC．

（3）如圖2中，過B作BP⊥EC，BH⊥AM，
∴S△ABG=S△EBC，AG=EC，
∴

ECBP=AGBH，
∴BP=BH，
∴MB為∠EMG的平分線，
∵∠AMC=∠ABC=90°，
∴∠EMB=∠EMG=×90°=45°；
如圖3中，在NA上截取NQ=NB，連接BQ，作BH⊥AM于H，連接AC．

∴△BNQ為等腰直角三角形，即BQ=BN，
∵∠AMN=45°，∠N=90°，
∴△AMN為等腰直角三角形，即AN=MN，
∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，
∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠MBC=∠BAN，
在△ABQ和△BCM中，
，
∴△ABQ≌△BCM（SAS），
∴CM=BQ，
則CM=BN，
∵∠BMH=45°，BH⊥AM，BM=3
∴BH=HM=3，
∴AH==6，
∴AM=9，AC=3，
∴CM==3，
∴BN=CM=.