【題目】如圖,四邊形ABCD、BEFG均為正方形.
(1)如圖1,連接AG、CE,試判斷AG和CE的數量關系和位置關系為 (直接寫結果)
(2)將正方形BEFG繞點B順時針旋轉β角(0°<β<180°),如圖2,連接AG、CE相交于點M,連接MB,當角β發(fā)生變化時,AG和CE的數量關系和位置關系是否發(fā)生變化?請說明理由.
(3)在(2)的條件下,如備用圖,連接MB,過點A作AN⊥MB交MB的延長線于點N,若MB=3,正方形ABCD的邊長為3,求BN的長.
【答案】(1)AG=EC,AG⊥EC;(2)結論不變,見解析;(3)BN=.
【解析】
(1)AG=EC,AG⊥EC,理由為:由正方形BEFG與正方形ABCD,利用正方形的性質得到兩對邊相等,一對直角相等,利用SAS得出三角形ABG與三角形CBE全等,利用全等三角形的對應邊相等,對應角相等得到CE=AG,∠BCE=∠BAG,再利用同角的余角相等即可得證;
(2)結論不變,理由為:利用SAS得出三角形ABG與三角形BEC全等即可解決問題;
(3)過B作BP⊥EC,BH⊥AM,首先證明BM平分∠BME,再證明CM=BN,求出MC即可解決問題;
解:(1)AG=EC,AG⊥EC,
理由為:如圖1中,
∵正方形BEFG,正方形ABCD,
∴GB=BE,∠ABG=90°,AB=BC,∠ABC=90°,
在△ABG和△BEC中,
,
∴△ABG≌△BEC(SAS),
∴CE=AG,∠BCE=∠BAG,
延長CE交AG于點M,
∴∠BEC=∠AEM,
∴∠ABC=∠AME=90°,
∴AG=EC,AG⊥EC;
故答案為AG=EC,AG⊥EC,
(2)結論不變.
理由為:如圖2中,設AM交BC于O.
∵∠EBG=∠ABC=90°,
∴∠ABG=∠EBC,
在△ABG和△CEB中,
,
,
∴△ABG≌△CEB(SAS),
∴AG=EC,∠BAG=∠BCE,
∵∠BAG+∠AOB=90°,∠AOB=∠COM,
∴∠BCE+∠COM=90°,
∴∠OMC=90°,
∴AG⊥EC.
(3)如圖2中,過B作BP⊥EC,BH⊥AM,
∴S△ABG=S△EBC,AG=EC,
∴
ECBP=AGBH,
∴BP=BH,
∴MB為∠EMG的平分線,
∵∠AMC=∠ABC=90°,
∴∠EMB=∠EMG=×90°=45°;
如圖3中,在NA上截取NQ=NB,連接BQ,作BH⊥AM于H,連接AC.
∴△BNQ為等腰直角三角形,即BQ=BN,
∵∠AMN=45°,∠N=90°,
∴△AMN為等腰直角三角形,即AN=MN,
∴MN-BN=AN-NQ,即AQ=BM,
∵∠MBC+∠ABN=90°,∠BAN+∠ABN=90°,
∴∠MBC=∠BAN,
在△ABQ和△BCM中,
,
∴△ABQ≌△BCM(SAS),
∴CM=BQ,
則CM=BN,
∵∠BMH=45°,BH⊥AM,BM=3
∴BH=HM=3,
∴AH==6,
∴AM=9,AC=3,
∴CM==3,
∴BN=CM=.
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【題目】如圖,將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊,使得點A落在邊CD的中點E處,折痕為FG,點F、G分別在邊AD、BC上,則折痕FG的長度為_____.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線(k為常數).
(1)若拋物線經過點(1,k2),求k的值;
(2)若拋物線經過點(2k,y1)和點(2,y2),且y1>y2,求k的取值范圍;
(3)若將拋物線向右平移1個單位長度得到新拋物線,當1≤x≤2時,新拋物線對應的函數有最小值,求k的值.
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【題目】已知如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC,點D在AB上,DE⊥AB交BC于E,點F是AE的中點
(1)寫出線段FD與線段FC的關系并證明;
(2)如圖2,將△BDE繞點B逆時針旋轉α(0°<α<90°),其它條件不變,線段FD與線段FC的關系是否變化,寫出你的結論并證明;
(3)將△BDE繞點B逆時針旋轉一周,如果BC=4,BE=2,直接寫出線段BF的范圍.
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【題目】(1)如圖1,矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分別交AB,CD于點E,F,GH分別交AD,BC于點G,H,求證:=.
(2)如圖2,在滿足(1)的條件下,又AM⊥BN,點M,N分別在邊BC,CD上,若,則的值為 .
(3)如圖3,四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AB=AD=12,BC=CD=4,AM⊥DN,點M,N分別在邊BC,AB上,求的值.
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【題目】如圖,點M,N分別是正方形ABCD的邊BC,CD上的點,且BM=CN, AM與BN交于點P,試探索AM與BN的關系.
(1)數量關系_____________________,并證明;
(2)位置關系_____________________,并證明.
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【題目】某品牌手機去年每臺的售價y(元)與月份x之間滿足函數關系:y=﹣50x+2600,去年的月銷量p(萬臺)與月份x之間成一次函數關系,其中1﹣6月份的銷售情況如下表:
月份(x) | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 |
銷售量(p) | 3.9萬臺 | 4.0萬臺 | 4.1萬臺 | 4.2萬臺 | 4.3萬臺 | 4.4萬臺 |
(1)求p關于x的函數關系式;
(2)求該品牌手機在去年哪個月的銷售金額最大?最大是多少萬元?
(3)今年1月份該品牌手機的售價比去年12月份下降了m%,而銷售量也比去年12月份下降了1.5m%.今年2月份,經銷商決定對該手機以1月份價格的“八折”銷售,這樣2月份的銷售量比今年1月份增加了1.5萬臺.若今年2月份這種品牌手機的銷售額為6400萬元,求m的值.
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【題目】已知關于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=|m|.
(1)求證:對于任意實數m,方程總有兩個不相等的實數根;
(2)若方程的一個根是1,求m的值及方程的另一個根.
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【題目】如圖,A、B、C、D為矩形的四個頂點,AB=16cm,AD=6cm,動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā),點P以3cm/s的速度向點B移動,一直到達B為止,點Q以2 cm/s的速度向D移動.
(1)P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒?四邊形PBCQ的面積為33cm2;
(2)P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時?點P和點Q的距離是10cm.
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