Question

【題目】閱讀理解題

（1）閱讀理解：如圖①，等邊內(nèi)有一點，若點到頂點，，的距離分別為3，4，5，求的大小.

思路點撥：考慮到，，不在一個三角形中，采用轉化與化歸的數(shù)學思想，可以將繞頂點逆時針旋轉到處，此時，這樣，就可以利用全等三角形知識，結合已知條件，將三條線段的長度轉化到一個三角形中，從而求出的度數(shù).請你寫出完整的解題過程.

（2）變式拓展：請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：

已知如圖②，中，，，、為上的點且，，，求的大小.

（3）能力提升：如圖③，在中，，，，點為內(nèi)一點，連接，，，且，請直接寫出的值，即______.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）根據(jù)旋轉變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，全等三角形對應角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把繞點A逆時針旋轉90°得到，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得，，，，，再求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，再利用勾股定理列式即可得證．
（3）將繞點B順時針旋轉至處，連接，根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，即的長，再根據(jù)旋轉的性質(zhì)求出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得，等邊三角形三個角都是求出，然后求出、、、四點共線，再利用勾股定理列式求出，從而得到．

解：(1),

由題意知旋轉角,

為等邊三角形，

,

易證為直角三角形,且 ,

,

故答案為：；

(2)如圖2,把繞點A逆時針旋轉得到,

由旋轉的性質(zhì)得, ,

,

在和中，

,

,

由勾股定理得, ，

即,

.

(3)如圖3,將繞點B順時針旋轉至處,連接，

在中, ,

，

,

繞點B順時針方向旋轉，

如圖所示；

，

繞點B順時針方向旋轉,得到，

，

是等邊三角形，

,

,

四點共線，

在中,