Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4㎝，DC＝6㎝，試求AD的長. 小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題。請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
【小題1】分別以AB、AC所在的直線為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點分別為點E、F，延長EB、FC相交于G點，試證明四邊形AEGF是正方形；
【小題2】設(shè)AD＝x㎝,聯(lián)系(1)的結(jié)論，試求出AD的長；

Answer 1

【小題1】由翻折得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．∴四邊形AEGF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF． 
∴矩形AEGF是正方形．
【小題2】解：∵AD=x，則AE=EG=GF=x，
∵BD=4，DC=6，∴BE=4，CF=6．
∴BG=x-4，CG=x-6．（6分）
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²
∴（x-4）²+（x-6）²=10²，
∴x²-10x-24=0．
解得x₁=12，x₂=-2（舍），
所以AD=x=12

解析