Question

（2010•武漢模擬）如圖1，△ABC中，AC=BC，∠C=120°，D在BC邊上、△BDE為等邊三角形，連接AE，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，連CF，DF．
（1）請直接寫出CF、DF的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由；
（2）將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°），其它條件不變，如圖2，試回答（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；
（3）若將圖（1）中的△DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，其它條件不變，請完成圖3，并直接給出結(jié)論，不必說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長DF交AC于G，由于∠EDC=∠ACB=120°，易得AC∥DE，而F是AE中點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例定理得DF=FG，即F是DG的中點(diǎn)，那么DG、AE互相平分，即四邊形AGED是平行四邊形，得AG=DE=DB，由此可證得AG=AD，在等腰△CDG中，F(xiàn)是DG的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AF平分∠ACB，即∠FCD=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到CF、DF的比例關(guān)系．
（2）此題解法與（1）大致相同；延長DF到G，使得DF=FG，連接CG，那么AE、DG互相平分，即四邊形AGED是平行四邊形，得AG=DE=BD，然后證△AGC≌△BDC，可得到GC=CD，后面的解法與（1）相同．
（3）解法與（2）完全相同．
解答：解：（1）FD=CF，
理由如下：
延長DF，交AC于G；
∵∠CDE=∠ACD=120°，
∴DE∥AG；
∵F是AE的中點(diǎn)，
∴F是GD的中點(diǎn)，即AE、DG互相平分，
∴四邊形AGED是平行四邊形，
∴AG=DE=DB；
∵BC=AC，∴CG=CD，
在等腰△CGD中，F(xiàn)是DG的中點(diǎn)，則CF⊥GD，且∠FCD=∠ACB=60°，
故FD=CF．

（2）延長DF至G，使得DF=FG；
則DG、AE互相平分，連接AG、CG；
故四邊形AGED是平行四邊形；
∴AG=DE=BD，且AG∥DE；
∴∠AGM=∠MDE=∠3+∠4=∠3+60°；
四邊形AGMC中，
∠1+120°+∠CAG+∠AGF=360°，即∠1+120°+∠CAG+∠3+60°=360°?∠1+∠3+∠CAG=180°；
△DBM中，∠CBD+∠2+∠3=180°，
∵∠1=∠2，∴∠CAG=∠CBD=α；
又∵AG=BD，AC=BC，
∴△AGC≌△BDC，得GC=CD，∠ACG=∠DCB；
∴∠BCD+∠GCB=∠ACG+∠GCB=∠ACB=120°，
在等腰△GCD中，F(xiàn)是GD的中點(diǎn)，則CF⊥GD，且∠FCD=60°，
故FD=CF，所以（1）的結(jié)論依然成立．

（3）FD=CF，如圖．（解法與（2）完全相同）．
點(diǎn)評：此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，還涉及到：等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識的綜合應(yīng)用，正確地構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．