【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C在⊙O上,AD垂直于過點C的切線,垂足為D,CE垂直AB,垂足為E.延長DA交⊙O于點F,連接FC,F(xiàn)CAB相交于點G,連接OC.

(1)求證:CD=CE;

(2)若AE=GE,求證:△CEO是等腰直角三角形.

【答案】證明見解析.

【解析】

(1)連接AC,根據(jù)切線的性質(zhì)和已知得:AD∥OC,得∠DAC=∠ACO,根據(jù)AAS證明△CDA≌△CEA(AAS),可得結(jié)論;
(2)介紹兩種證法:
證法一:根據(jù)△CDA≌△CEA,得∠DCA=∠ECA,由等腰三角形三線合一得:∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG,在直角三角形中得:∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°,可得結(jié)論;
證法二:設(shè)∠F=x,則∠AOC=2∠F=2x,根據(jù)平角的定義得:∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°,則3x+3x+2x=180,即得出結(jié)論.

證明:(1)連接AC,

CD是⊙O的切線,

OCCD,

ADCD,

∴∠DCO=D=90°,

ADOC,

∴∠DAC=ACO,

OC=OA,

∴∠CAO=ACO,

∴∠DAC=CAO,

CEAB,

∴∠CEA=90°,

在△CDA和△CEA中,

,

∴△CDA≌△CEA(AAS),

CD=CE;

(2)證法一:連接BC,

∵△CDA≌△CEA,

∴∠DCA=ECA,

CEAG,AE=EG,

CA=CG,

∴∠ECA=ECG,

AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

CEAB,

∴∠ACE=B,

∵∠B=F,

∴∠F=ACE=DCA=ECG,

∵∠D=90°,

∴∠DCF+∠F=90°,

∴∠F=DCA=ACE=ECG=22.5°,

∴∠AOC=2F=45°,

∴△CEO是等腰直角三角形;

證法二:設(shè)∠F=x,則∠AOC=2F=2x,

ADOC,

∴∠OAF=AOC=2x,

∴∠CGA=OAF+∠F=3x,

CEAG,AE=EG,

CA=CG,

∴∠EAC=CGA,

CEAG,AE=EG,

CA=CG,

∴∠EAC=CGA,

∴∠DAC=EAC=CGA=3x,

∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°,

3x+3x+2x=180,

x=22.5°,

∴∠AOC=2x=45°,

∴△CEO是等腰直角三角形.

練習冊系列答案
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