Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°．

（1）求△ABC的面積；

（2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P（m，），試用含m的代數(shù)式表示△APB的面積，并求當(dāng)△APB與△ABC面積相等時m的值；

（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)Q？若存在，請寫出點(diǎn)Q所有可能的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由∠ABC＝30°，求出AC的長，從而計(jì)算出面積；
（2）過P作PD⊥x軸，垂足為D，先求出梯形ODPB的面積和△AOB的面積之和，再減去△APD的面積，即是△APB的面積；根據(jù)△APB與△ABC面積相等，求得m的值；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解：（1）∵一次函數(shù)的解析式為y=-x+函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，

∴A（1，0），B（0，），根據(jù)勾股定理可得：AB＝2，

在Rt△ABC， ∠ABC＝30°，設(shè)AC＝x，則BC＝2x，由勾股定理得，4x2﹣x2＝4，

解得x＝，S△ABC＝＝；

（2）過P作PD⊥x軸，垂足為D，

S△APB＝S梯形ODPB+S△AOB﹣S△APD＝＝，

＝，解得m＝；

（3）∵AB＝＝2，

∴當(dāng)AQ＝AB時，點(diǎn)Q1（3，0），Q2（﹣1，0），Q3（0，﹣）；

當(dāng)AB＝BQ時，點(diǎn)Q4（0，+2），Q5（0，﹣2），Q2（﹣1，0）；

當(dāng)AQ＝BQ時，點(diǎn)Q6（0，），Q2（﹣1，0），

綜上可得：（0，），（0，），（﹣1，0）（3，0），（0，），（0，）