Question

【題目】已知，在中，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，其中．

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，若，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？的值為多少？直接寫(xiě)出答案；

類比探究，（2）如圖2，若，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？的值為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．

拓展應(yīng)用：（3）如圖3，在中，，，為上一點(diǎn)，以為邊，在如圖所示位置作正方形，點(diǎn)為正方形的對(duì)稱中心，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）∠BCE＝∠A＝60°；k＝1；（2）∠BCE＝∠A，k＝，理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）證明，得，即可得解；

（2）先證明△ABC∽△DBE，，結(jié)合∠ABD＝∠CBE，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等可證明△ABD∽△CBE，即可得出結(jié)論；

（3）連接BO、OD，通過(guò)證明∽，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，求出DC，進(jìn)而求出AD，再利用勾股定理求DB，則DE=DB．

解：（1）∵， ，

∴為等邊三角形，

∴，，

又∵且，

∴為等邊三角形，

∴，，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴

故答案為：，．

（2）∠BCE＝∠A，k＝．

理由如下：∵∠BAC＝∠BDE，AB＝AC，BD＝DE，

∴∠ABC＝∠DBE，

∴△ABC∽△DBE，

∴，

又∵∠ABC＋∠CBD＝∠DBE＋∠CBD，即∠ABD＝∠CBE

∴△ABD∽△CBE（對(duì)應(yīng)邊成比例，夾角相等），

∴，；

（3）如圖，連接BO、OD，

∵四邊形為正方形，點(diǎn)為正方形的對(duì)稱中心，

∴，，

∵為等腰直角三角形，

∴，，

∴，

∴∽，

∴，即，

∴，

∴，

∴，

故的長(zhǎng)為：．