Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4，DC＝6，求AD的長(zhǎng).

小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題.

請(qǐng)按照小萍的思路，探究并解答下列問題：

(1)分別以AB、AC為對(duì)稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對(duì)稱圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E、F，延長(zhǎng)EB、FC相交于G點(diǎn)，證明四邊形AEGF是正方形；

(2)設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值.

 

Answer 1

【答案】

可求證∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°AE＝AF.∴四邊形AEGF是正方形.

（2）AD=12

【解析】

試題分析：(1)證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF .

∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，

∴∠EAF＝90°.

又∵AD⊥BC

∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°.

又∵AE＝AD，AF＝AD

∴AE＝AF.

∴四邊形AEGF是正方形.

(2)解：設(shè)AD＝x，則AE＝EG＝GF＝x.

∵BD＝4，DC＝6

∴BE＝4 ，CF＝6

∴BG＝x－4，CG＝x－6

在Rt△BGC中，BG²＋CG²＝BC²

∴( x－4)²＋(x－6)²＝10².

化簡(jiǎn)得，x²－10x－24＝0 

解得x₁＝12，x₂＝－2（舍去）

所以AD＝x＝12

考點(diǎn)：四邊形與一元二次方程探究

點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，主要考查學(xué)生對(duì)四邊形判定及一元二次方程綜合應(yīng)用的掌握能力，為中考�？碱}型，要求學(xué)生培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用到考試中去。