Question

【題目】定義：將一個(gè)大于0的自然數(shù)，去掉其個(gè)位數(shù)字，再把剩下的數(shù)加上原數(shù)個(gè)位數(shù)字的4倍，如果得到的和能被13整除，則稱這個(gè)數(shù)是“一刀兩斷”數(shù)，如果和太大無法直接觀察出來，就再次重復(fù)這個(gè)過程繼續(xù)計(jì)算，例如，所以55263是“一刀兩斷”數(shù)．，所以3247不是“一刀兩斷”數(shù)．

（1）判斷5928是否為“一刀兩斷”數(shù)：_____（填是或否），并證明任意一個(gè)能被13整除的數(shù)是“一刀兩斷”數(shù)；

（2）對于一個(gè)“一刀兩斷”數(shù)均為正整數(shù)），規(guī)定．若的千位數(shù)字滿是，千位數(shù)字與十位數(shù)字相同，且能被65整除，求出所有滿足條件的四位數(shù)中，的最大值．

Answer 1

【答案】（1）是；證明見解析；（2）的最大值為45．

【解析】

（1）根據(jù)“一刀兩斷”數(shù)的定義，計(jì)算即可得，設(shè)任意一個(gè)能被13整除的位數(shù)前位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，則這個(gè)位數(shù)可表示為，根據(jù)定義進(jìn)行推理即可證得；

（2）由m能被65整除，得出m是13的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，可得d=0或5，分情況討論，分別求出滿足條件的所有的m的值，代入中計(jì)算即可判斷出．

（1），所以5928是“一刀兩斷”數(shù)

證明：設(shè)任意一個(gè)能被13整除的位數(shù)前位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，則這個(gè)位數(shù)可表示為（為正整數(shù)），

，

，

是“一刀兩斷”數(shù)；

∴任意一個(gè)能被13整除的數(shù)是“一刀兩斷”數(shù)，

故答案為：是；

（2）能被65整除，且a=c，

既能被13整除又能被5整除．

或．

當(dāng)時(shí)，，

是13的倍數(shù)．

，

．

又，

．

．

當(dāng)時(shí)，，

是13的倍數(shù)，

，

．

，

或或．

或或．

．

的最大值為45，

故答案為：45．