Question

【題目】已知：二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值5.

（1）求此二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；

（2）將函數(shù)圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折，得到的新圖象與直線恒有四個(gè)交點(diǎn)，從左到右，四個(gè)交點(diǎn)依次記為，當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí)，求的值.

（3）若點(diǎn)是(2)中翻折得到的拋物線弧部分上任意一點(diǎn)，若關(guān)于m的一元二次方程 恒有實(shí)數(shù)根時(shí)，求實(shí)數(shù)k的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 拋物線與軸交于；（2）；（3）實(shí)數(shù)k的最大值為3.

【解析】分析：（1）求出對(duì)稱軸x=1，結(jié)合a>0,可知當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，所以x=4時(shí)，y=5,把以x=4時(shí)，y=5代入解析式求出a的值，然后解方程即可；

（2）由折疊部分對(duì)應(yīng)的解析式：，可知，解方程，求出B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)列方程即可求出n的值；

（3）根據(jù)△≥0求出k的取值范圍，即，再結(jié)合，即可求得實(shí)數(shù)k的最大值.

詳解：(1) 拋物線的對(duì)稱軸為：.

，拋物線開(kāi)口向上，大致圖象如圖所示.

當(dāng)時(shí)，隨增大而增大；

由已知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值5.

當(dāng)時(shí)， ，

.

令 得 ，令 得，

拋物線與軸交于，

拋物線與軸交于.

（2）,

其折疊得到的部分對(duì)應(yīng)的解析式為：，其頂點(diǎn)為

圖象與直線恒有四個(gè)交點(diǎn)，

由，解得,

，.

當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí)，.

即：，

,

,

得， ，

.

（另法：∵BC直徑，且⊙F與x軸相切，

∴FC=y=n,

∵對(duì)稱軸為直線x=1,

∴F(1,n),則C（1+n,n),

又∵C在上，

∴，

得，

，

.

（3）若關(guān)于m的一元二次方程 恒有實(shí)數(shù)根，則須

恒成立，

即恒成立，即恒成立.

點(diǎn)是(2)中翻折得到的拋物線弧部分上任意一點(diǎn)，

，

，（ 取 值之下限）

實(shí)數(shù)k的最大值為3.