Question

在Rt中，，，，點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于點(diǎn)E．點(diǎn)M在線段AP上，點(diǎn)N在線段BP上，且PM=PN，．

【小題1】（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求MP的長(zhǎng)；
【小題2】（2）設(shè)，△ENB的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【小題1】解：（1）∵在Rt中，，，，
∴． …………………………1分
由面積公式可得 ．
∴． ……………………………………2分
∵PE⊥AB，，
∴
【小題2】（2）分兩種情況考慮：
①當(dāng)點(diǎn)在線段AC上時(shí)，如圖②，
在Rt△AEP和Rt△ABC中，
∵，，
∴△APE∽△ACB．
∴，即 ，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．………………4分
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，．
∴自變量x的取值范圍是：． …………………………………5分
②當(dāng)點(diǎn)在線段BC上時(shí)，如圖③，
在Rt△BPE和Rt△BCA中，
∵，，
∴△BPE∽△BCA．
∴，即 ，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ……………6分
當(dāng)點(diǎn)在線段AC上時(shí)，，
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，y有最大值為．
而當(dāng)點(diǎn)在線段BC上時(shí)，y的最大值為點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，顯然沒(méi)有大．
∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，最大值為．

解析