如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),到達(dá)A點(diǎn)后立刻以原來的速度沿AB返回.點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長度,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也同時(shí)停止.連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t >0)秒.
(1)求線段AC的長度;
(2)當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)(未到達(dá)A點(diǎn)),求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(3)伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),線段PQ的垂直平分線為l:
①當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),射線QP交AD于點(diǎn)E,求AE的長;
②當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),求t的值.
(1)5 (2),
(3)3、t=2.5,
【解析】
試題分析:(1)在矩形ABCD中,
(2)過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H,AP=t,AQ =3-t,
由△AHP∽△ABC,得,∴PH=
,
,
.
(3) ①如圖②,線段PQ的垂直平分線為l經(jīng)過點(diǎn)A,則AP=AQ,
即3-t=t,∴t=1.5,∴AP=AQ=1.5,
延長QP交AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QO∥AD交AC于點(diǎn)O,
則,
,∴PO=AO-AP=1.
由△APE∽△OPQ,得.
②(ⅰ)如圖③,當(dāng)點(diǎn)Q從B向A運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過點(diǎn)B,
BQ=CP=AP=t,∠QBP=∠QAP
∵∠QBP+∠PBC=90°,∠QAP+∠PCB=90°
∴∠PBC=∠PCB CP=BP=AP=t
∴CP=AP=AC=
×5=2.5 ∴t=2.5.
(ⅱ)如圖④,當(dāng)點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)時(shí)l經(jīng)過點(diǎn)B,
BP=BQ=3-(t-3)=6-t,AP=t,PC=5-t,
過點(diǎn)P作PG⊥CB于點(diǎn)G由△PGC∽△ABC,
得
,BG=4-
=
由勾股定理得,即
,解得
.
考點(diǎn):矩形、相似三角形
點(diǎn)評:本題考查矩形,相似三角形,要求考生掌握矩形的性質(zhì),相似三角形的判定方法,會判定兩個(gè)三角形相似
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