Question

在▱ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F．

（1）在圖1中證明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫(xiě)出∠BDG的度數(shù)；

（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．

Answer 1

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)．

【專(zhuān)題】幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）根據(jù)AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四邊形ABCD是平行四邊形，求證∠CEF=∠F即可．

（2）根據(jù)∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)可直接求得．

（3）分別連接GB、GC，求證四邊形CEGF是平行四邊形，再求證△ECG是等邊三角形．

由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求證△BEG≌△DCG，然后即可求得答案

【解答】（1）證明：如圖1，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，

∴∠CEF=∠F．

∴CE=CF．

（2）解：連接GC、BG，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD為矩形，

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF=45°，

∵∠DCB=90°，DF∥AB，

∴∠DFA=45°，∠ECF=90°

∴△ECF為等腰直角三角形，

∵G為EF中點(diǎn)，

∴EG=CG=FG，CG⊥EF，

∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，

∴BE=DC，

∵∠CEF=∠GCF=45°，

∴∠BEG=∠DCG=135°

在△BEG與△DCG中，

∵，

∴△BEG≌△DCG，

∴BG=DG，

∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA=90°，

又∵∠DGC=∠BGA，

∴∠BGA+∠DGA=90°，

∴△DGB為等腰直角三角形，

∴∠BDG=45°．

（3）解：延長(zhǎng)AB、FG交于H，連接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，

∴四邊形AHFD為平行四邊形

∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD

∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°

∴△DAF為等腰三角形

∴AD=DF，

∴CE=CF，

∴平行四邊形AHFD為菱形

∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形

∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°

∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，

∴BH=GF

在△BHD與△GFD中，

∵，

∴△BHD≌△GFD，

∴∠BDH=∠GDF

∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)以下的步驟進(jìn)行思考和分析：（1）通過(guò)測(cè)量或特殊情況的提示進(jìn)行猜想；（2）根據(jù)猜想的結(jié)果進(jìn)行聯(lián)想（如60度角可以聯(lián)想到等邊三角形，45度角可以聯(lián)想到等腰直角三角形等）；（3）在聯(lián)想的基礎(chǔ)上根據(jù)已知條件利用幾何變換（如旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱(chēng)等）構(gòu)造全等解決問(wèn)題．