Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線 過點(diǎn)A（6，0）和點(diǎn)B（3， ）．

（1）求拋物線y1的解析式；
（2）將拋物線y1沿x軸翻折得拋物線y2 ， 求拋物線y2的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線y2上是否存在點(diǎn)M，使△OAM與△AOB相似？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，得

解得 ，

∴拋物線y1的解析式為：

（2）解：將拋物線y1沿x軸翻折后，仍過點(diǎn)O（0，0），A（6，0），還過點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn) ，

設(shè)拋物線y2的解析式為： ，

∴ ，

解得：

∴拋物線y2的解析式為

（3）解：過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，

則有 ．

∴∠BOC=30°，∠OBC=60°．

∵OC=3，OA=6，

∴AC=3．

∴∠BAC=30°，∠OBA=120°．

∴OB=AB．

即△OBA是頂角為120°的等腰三角形．

分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，△OAM就是△OAB'，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ．

②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，假設(shè)△OAM∽△OBA，

則有AM=OA=6，∠OAM=120°．

過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠MAD=60°．

∴ ，AD=3．∴OD=9．

而（9， ）滿足關(guān)系式 ，

即點(diǎn)M在拋物線 上．

根據(jù)對稱性可知，點(diǎn) 也滿足條件．

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ， ， ．

【解析】（1）分別將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線 y 1 = a x 2 + b x，用待定系數(shù)法求解；（2）將拋物線y1沿x軸翻折后，仍過點(diǎn)O，A，還過點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn) B '，設(shè)拋物線y2的解析式為： y 2 = m x 2 + n x ，用待定系數(shù)法即可求解；（3）①當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，△OAM就是△OAB，'②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，假設(shè)△OAM∽△OBA，分別得出M點(diǎn)的坐標(biāo)即可。