Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²-5ax+4a （a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，點C關于拋物線對稱軸的對稱點為D．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）若AD⊥BC，垂足為P，求二次函數(shù)的表達式；
（3）在（2）的條件下，連接BD，若直線y=x+m把△ABD的面積分為1：3的兩部分，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）A、B兩點為x軸上的點，故其總坐標為0，令y=0解方程即可；
（2）根據(jù)圖形特點，可以利用相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出C點坐標，再代入解析式求出a的值；
（3）根據(jù)題意可確定，直線x=m與x軸交點在線段AB上，S_△AMN=S_△ABD和S_△AMN=S_△ABD兩種情況利用三角形面積公式解答．
解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于A、B兩點，
∴ax²-5ax+4a=0（1分）
∵a≠0，
∴x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4（3分）
∴A（1，0），B（4，0）．（4分）

（2）（方法一）連接AC、CD，由對稱性知：四邊形ABDC是等腰梯形，
∴∠CAB=∠DBA，
在△ABC與△BAD中，
AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴∠1=∠2（6分）
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠1=45°，
∴OC=OB=4，
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐標代入y=ax²-5ax+4a，
得4a=4，
∴a=1，
∴二次函數(shù)的表達式為y=x²-5x+4．（10分）
（方法二）∵A、C兩點關于拋物線對稱軸的對稱點分別為B、D，
∴AD、BC的交點P在拋物線對稱軸上，
∴PA=PB（6分）
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠1=45°，
∴OC=OB=4，
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐標代入y=ax²-5ax+4a，
得4a=4，
∴a=1
∴二次函數(shù)的表達式為y=x²-5x+4．（10分）
（3）∵直線y=x+m與x軸的夾角為45°，
∴直線y=x+m平行于AD，
設直線y=x+m交AB于E，交BD于F，
∴△BEF∽△BAD，
當S_△BEF：S_△BAD=1：4，
∴BE：BA=1：2，
∴BE=，AE=3-=，
∴E點坐標為（，0），
把E（，0）代入y=x+m，得+m=0，
∴m=-，
當S_△BEF：S_△BAD=3：4，
∴BE：BA=：2，
∴BE=，
∴AE=3-
∴E點坐標為（4-，0），
把E（4-，0）代入y=x+m，得4-+m=0，
∴m=-4+．
所以m的值為-或-4+．
點評：本題考查了二次函數(shù)的知識，將二次函數(shù)與三角形與等腰梯形相結合，充分體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解決數(shù)學問題時的作用，解答此題的關鍵是充分利用解析式每一項都含a的特點及特殊三角形和等腰梯形的性質(zhì)．