Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，ABCD為長(zhǎng)方形，其中點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為（﹣4，2）、（1，﹣4），且AD∥x軸，交y軸于M點(diǎn)，AB交x軸于N．

（1）求B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)方形ABCD的面積；
（2）一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以 個(gè)單位/秒的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接MP、OP，請(qǐng)直接寫出∠AMP、∠MPO、∠PON之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使三角形AMP的面積等于長(zhǎng)方形面積的 ？若存在，求t的值并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為（﹣4，2）、（1，﹣4），

而四邊形ABCD為矩形，

∴B（﹣4，﹣4），D（1，2）；

矩形ABCD的面積=（1+4）×（2+4）=30

（2）

解：當(dāng)點(diǎn)P在線段AN上時(shí)，作PQ∥AM，如圖，

∵AM∥ON，

∴AM∥PQ∥ON，

∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，

∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，

即∠MPO=∠AMP+∠PON；

當(dāng)點(diǎn)P在線段NB上時(shí)，同樣方法可得∠MPO=∠AMP﹣∠PON

（3）

解：存在．

∵AM=4，AP= t，

∴S△AMP= ×4× t=t，

∵三角形AMP的面積等于長(zhǎng)方形面積的 ，

∴t=30× =10，

∴AP= ×10=5，

∵AN=2，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣3）．

【解析】（1）利用點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和矩形的性質(zhì)易得B（﹣4，﹣4），D（1，2），然后根據(jù)矩形面積公式計(jì)算矩形ABCD的面積；（2）分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段AN上時(shí)，作PQ∥AM，如圖，利用平行線的性質(zhì)易得∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，則∠MPO=∠AMP+∠PON；當(dāng)點(diǎn)P在線段NB上時(shí)，同樣方法可得∠MPO=∠AMP﹣∠PON；（3）由于AM=4，AP= t，根據(jù)三角形面積公式得到S△AMP=t，再利用三角形AMP的面積等于長(zhǎng)方形面積的 可計(jì)算出t=10，則AP=5，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形的面積的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握三角形的面積=1/2×底×高．