Question

【題目】如圖在正方形ABCD中，點M為BC邊上一點，BM＝4MC，以M為直角頂點作等腰直角三角形MEF，點E在對角線BD上，點F在正方形外EF交BC于點N，連CF，若BE＝2，S△CMF＝3，則MN＝_____.

Answer 1

【答案】

【解析】分別過點E、F作EP⊥BC，F(xiàn)Q⊥BC，垂足分別為P、Q，

∴∠BPE=∠EPM=∠FQM=∠FQN=90°，∴EP//FQ，

∴∠PEM+∠EMP=90°，

∵∠EMP+∠QMF=∠EMF=90°，

∴∠PEM=∠QMF，

又∵ME=MF，∴△PEM≌△QMF，∴PE=MQ，PM=FQ，

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∵∠BPE =90°，∴∠BEP=45°=∠EBP，

∴BP=PE=BE=，

∴BM=+PM=+FQ，

∵BM=4CM，S△CMF＝=3，

∴FQ=3，

∴PQ=PM=MQ=3-=2，

∵EP//FQ，∴△EPN∽△FQN，∴EP：FQ=PN：NQ，

即：：3=（2-NQ）：NQ，

∴NQ=，

∴MN=NQ+MQ=+=，

故答案為：.