Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，對角線BD平分∠ABC，cosC=．
（1）求邊BC的長；
（2）過點A作AE⊥BD，垂足為點E，求cot∠DAE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DH⊥BC，垂足為點H．在Rt△CDH中，由，可求得CH，再根據(jù)對角線和平行線，得∠ABD=∠ADB．則AD=AB=5．即可求出BC；
（2）在Rt△CDH中，可求得DH，進(jìn)而得出BH，將角∠DAE轉(zhuǎn)化成∠BDH，即可得出答案．
解答：解：（1）過點D作DH⊥BC，垂足為點H．
在Rt△CDH中，由∠CHD=90°，CD=5，，
得．（1分）
∵對角線BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．（1分）
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∴∠ABD=∠ADB．即得AD=AB=5．（2分）
于是，由等腰梯形ABCD，可知BC=AD+2CH=13．（1分）

（2）∵AE⊥BD，DH⊥BC，
∴∠BHD=∠AED=90°．
∵∠ADB=∠DBC，
∴∠DAE=∠BDH．（1分）
在Rt△CDH中，．（1分）
在Rt△BDH中，BH=BC-CH=13-4=9．（1分）
∴．（1分）
∴cot∠DAE=cot∠BDH=．（1分）
點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．