Question

【題目】如圖，四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、D在⊙O上，BC經(jīng)過(guò)圓心O，且交⊙O于點(diǎn)E，∠A＝120°，∠C＝30°．

（1）求證：CD是⊙O的切線．

（2）若CD＝6，求BC的長(zhǎng)．

（3）若⊙O的半徑為4，則四邊形ABCD的最大面積為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）連接、，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，求得，又點(diǎn)在上，于是得到結(jié)論；

（2）由（1）知：又，設(shè)為，則為，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

（3）連接BD，OA，根據(jù)已知條件推出當(dāng)四邊形ABOD的面積最大時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，當(dāng)OA⊥BD時(shí)，四邊形ABOD的面積最大，根據(jù)三角形和菱形的面積公式即可得到結(jié)論．

解：（1）證明：連接、，

四邊形為圓內(nèi)接四邊形，

，

，

，又點(diǎn)在上，

是的切線；

（2）由（1）知：又，

，

設(shè)為，則為，

在中，，

即，

，

又，

，

；

（3）連接，，

，

，

，

，，，

，

，

，

當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，四邊形的面積最大，

當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，

四邊形的最大面積，

故答案為：．