Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)．點(diǎn)P在這條拋物線上，且不與A、D兩點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與射線AD交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QF垂直于y軸，點(diǎn)F在點(diǎn)Q的右側(cè)，且QF=2，以QF、QP為鄰邊作矩形QPEF．設(shè)矩形QPEF的周長(zhǎng)為d，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求這條拋物線的對(duì)稱軸將矩形QPEF的面積分為1：2兩部分時(shí)m的值．
（3）求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式及d隨m的增大而減小時(shí)d的取值范圍．
（4）當(dāng)矩形QPEF的對(duì)角線互相垂直時(shí)，直接寫出其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（1，0）、B（5，0）代入y=ax2+bx+5，

，

解得 ，

∴y=x2﹣6x+5

（2）

解：如圖所示：∵拋物線y=x2﹣6x+5的對(duì)稱軸為：x=﹣ =﹣ =3，

∵這條拋物線的對(duì)稱軸將矩形QPEF的面積分為1：2兩部分，

可得PN=3﹣m，PE=2，

∴ = 或 = ，

解得：m= 或m=

（3）

解：當(dāng)x=6時(shí)，y=x2﹣6x+5=62﹣6×6+5=5，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，5）．

射線AD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x﹣1（x＞1）．

∴P（m，m2﹣6m+5），Q（m，m﹣1）．

當(dāng)1＜m＜6時(shí)，d=2（﹣m2+7m﹣6+2）=﹣2m2+14m﹣8，

當(dāng)m＞6時(shí)，d=2（m2﹣7m+6+2）=2m2﹣14m+16，

又d=﹣2m2+14m﹣8=﹣2（m﹣ ）2+ ，

∴d隨m的增大而減小時(shí)d的取值范圍是4＜d≤

（4）

解：當(dāng)矩形QPEF的對(duì)角線互相垂直時(shí)，則矩形QPEF是正方形，邊長(zhǎng)為2，

當(dāng)1＜m＜6時(shí)，m﹣1﹣（m2﹣6m+5）=2，

整理得：m2﹣7m+8=0，

解得：m1= ，m2= ，

當(dāng)m＞6時(shí)，m2﹣6m+5﹣（m﹣1）=2，

整理得：m2﹣7m+4=0，

解得：m3= ，m4= （舍去），

故其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為： +1= ， +1= ， +1=

【解析】（1）直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）首先求出函數(shù)對(duì)稱軸進(jìn)而得出m的值；（3）分別利用當(dāng)1＜m＜6時(shí)，d=2（﹣m2+7m﹣6+2），當(dāng)m＞6時(shí)，d=2（m2﹣7m+6+2）求出d的取值范圍即可；（4）當(dāng)矩形QPEF的對(duì)角線互相垂直時(shí)，則矩形QPEF是正方形，邊長(zhǎng)為2，進(jìn)而得出m的值求出答案．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�