Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象經過點A（4，4），B（5，0）和原點O，P為二次函數圖象上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA相較于點C．

（1）求出二次函數的解析式；

（2）當點P在直線OA的上方時，求線段PC的最大值；

（3）當點P在直線OA的上方時，是否存在一點P，使射線OP平分∠AOy，若存在，請求出P點坐標；若不存在．請說明理由；

（4）當m＞0時，探索是否存在點P，使得△PCO為等腰三角形，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+5x；（2）4；（3）存在，P(4﹣，2+3)；（4）存在，P(4﹣，2+3)

【解析】

（1）由待定系數法將A（4，4），B（5，0）代入二次函數的解析式為y＝ax2+bx即可；

（2）求出OA的解析式，將P，C的縱坐標用含m的代數式表示出來，再表示出PC的長度，用函數的思想即可求出其最大值；

（3）存在，如圖，當射線OP平分∠AOy時，過點P作PM⊥y軸于點M，作PN⊥OA于點N，則PM＝PN，證△ODC和△PCN是等腰直角三角形，可用含m的代數式分別表示出PM，PN的長度，解等式即可求出m的值，進一步寫出點P的坐標；

（4）存在，當△PCO為等腰三角形時，只存在PC＝OC一種情況，用含m的代數式表示出PC，OC的長，解方程即可求出m的值，進一步寫出點P的坐標．

解：（1）∵二次函數的圖象經過原點，

∴設二次函數的解析式為y＝ax2+bx，

將A（4，4），B（5，0）代入，

得，

解得，a＝﹣1，b＝5，

∴y＝﹣x2+5x；

（2）設直線OA的解析式為y＝ax，

將A（4，4）代入，

得，a＝1，

∴yOA＝x，

∵PD⊥x軸，D（m，0），

∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m），

∴PC＝﹣m2+5m﹣m

＝﹣m2+4m

＝﹣（m﹣2）2+4，

根據二次函數的圖象及性質可知，當m＝2時，PC有最大值，其最大值為4；

（3）存在，理由如下：

如圖，當射線OP平分∠AOy時，過點P作PM⊥y軸于點M，作PN⊥OA于點N，

則PM＝PN，

∵點C在直線yOA＝x上，

∴△ODC是等腰直角三角形，

∴∠OCD＝∠PCN＝45°，

∴△PCN是等腰直角三角形，

由（2）知，PC＝﹣m2+4m，

∴PN＝（﹣m2+4m）＝﹣m2+2m，

∵P（m，﹣m2+5m），

∴PM＝m，

∵PM＝PN，

∴m＝﹣m2+2m，

解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，

∴P（4﹣，2+3）；

（4）存在，理由如下：

∵∠PCO＝180°﹣∠OCD＝135°，

∴當△PCO為等腰三角形時，只存在PC＝OC一種情況，

由（2）知，PC＝﹣m2+4m，OC＝OD＝m，

∴﹣m2+4m＝m，

解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，

∴當m＝4﹣時，﹣m2+5m＝2+3，

∴P（4﹣，2+3）．