Question

已知拋物線y=x²與動直線y=（2t-1）x-c有公共點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），且x₁²+x₂²=t²+2t-3．
（1）求實數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t為何值時，c取到最小值，并求出c的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線的圖象性質(zhì)可以知道拋物線y=x²的圖象開口向上最低點(diǎn)為原點(diǎn)，它與直線有交點(diǎn)則可以聯(lián)立求解方程有兩個實數(shù)根，便可一切定出t的取值范圍．
（2）有（1）中可知c可以用含有t的代數(shù)式來表示，利用二次函數(shù)求最值的相關(guān)知識求解．
解答：解：（1）聯(lián)立y=x²與y=（2t-1）x-c，
消去y得二次方程x²-（2t-1）x+c=0①
有實數(shù)根x₁，x₂，則x₁+x₂=2t-1，x₁x₂=c．
所以
==②
把②式代入方程①得③
t的取值應(yīng)滿足t²+2t-3=x₁²+x₂²≥0，④
且使方程③有實數(shù)根，即△=（2t-1）²-2（3t²-6t+4）=-2t²+8t-7≥0，⑤
解不等式④得t≤-3或t≥1，
解不等式⑤得≤t≤．
所以，t的取值范圍為≤t≤．⑥

（2）由②式知．
由于
在≤t≤時是遞增的，
所以，當(dāng)
時，．
答：當(dāng)時，c有最小值：．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及二次函數(shù)求最值的相關(guān)知識．