Question

【題目】已知拋物線C：y=x2﹣2x+1的頂點(diǎn)為P，與y軸的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)F（1， ）．
（1）求點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；
（2）將拋物線C向上平移得到拋物線C′，點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′，且FQ′=OQ′．
①求拋物線C′的解析式；
②若點(diǎn)P關(guān)于直線Q′F的對(duì)稱點(diǎn)為K，射線FK與拋物線C′相交于點(diǎn)A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2

∴頂點(diǎn)P（1，0），

∵當(dāng)x=0時(shí)，y=1，

∴Q（0，1）

（2）

解：①設(shè)拋物線C′的解析式為y=x2﹣2x+m，

∴Q′（0，m）其中m＞1，

∴OQ′=m，

∵F（1， ），

過(guò)F作FH⊥OQ′，如圖：

∴FH=1，Q′H=m﹣ ，

在Rt△FQ′H中，F(xiàn)Q′2=（m﹣ ）2+1=m2﹣m+ ，

∵FQ′=OQ′，

∴m2﹣m+ =m2，

∴m= ，

∴拋物線C′的解析式為y=x2﹣2x+ ，

②設(shè)點(diǎn)A（x0，y0），則y0=x02﹣2x0+ ，

過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，與直線Q′F相交于點(diǎn)N，則可設(shè)N（x0，n），

∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，

連接FP，

∵F（1， ），P（1，0），

∴FP⊥x軸，

∴FP∥AN，

∴∠ANF=∠PFN，

連接PK，則直線Q′F是線段PK的垂直平分線，

∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，

∴∠ANF=∠AFN，則AF=AN，

根據(jù)勾股定理，得，AF2=（x0﹣1）2+（y0﹣ ）2，

∴（x0﹣1）2+（y0﹣ ）2=（x ﹣2x0+ ）+y ﹣y0=y ，

∴AF=y0，

∴y0=y0﹣n，

∴n=0，

∴N（x0，0），

設(shè)直線Q′F的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得 ，

∴y=﹣ x+ ，

由點(diǎn)N在直線Q′F上，得，0=﹣ x0+ ，

∴x0= ，

將x0= 代入y0=x ﹣2x0+ ，

∴y0= ，

∴A（ ， ）

【解析】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理．（1）令x=0，求出拋物線與y軸的交點(diǎn)，拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）①設(shè)出Q′（0，m），表示出Q′H，根據(jù)FQ′=OQ′，用勾股定理建立方程求出m，即可．②根據(jù)AF=AN，用勾股定理，（x﹣1）2+（y﹣ ）2=（x2﹣2x+ ）+y2﹣y=y2 ， 求出AF=y，再求出直線Q′F的解析式，即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用線段垂直平分線的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．