Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)；

①若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QD∥y軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5），②

【解析】

（1）由拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）①a＝1時(shí)，先由對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，求出b的值，再將B（1，0）代入，求出二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣3，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），根據(jù)S△POC＝4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長(zhǎng)度的最大值．

（1）∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，

∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）①∵a＝1時(shí)，拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，

∴＝﹣1，解得b＝2．

將B（1，0）代入y＝x2+2x+c，

得1+2+c＝0，解得c＝﹣3．

則二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣3，

∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），OC＝3．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC＝4S△BOC，

∴×3×|x|＝4××3×1，

∴|x|＝4，x＝±4．

當(dāng)x＝4時(shí)，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21；

當(dāng)x＝﹣4時(shí)，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）．

②設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+t （k≠0）將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，

得 ，解得 ，

即直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3．

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），

QD＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，

∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，QD有最大值．