Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以點A為圓心，AC長為半徑的圓交AB于點D，BA的延長線交⊙A于點E，連接CE，CD，F(xiàn)是⊙A上一點，點F與點C位于BE兩側(cè)，且∠FAB=∠ABC，連接BF．

（1）求證：∠BCD=∠BEC；

（2）若BC=2，BD=1，求CE的長及sin∠ABF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CE=， sin∠ABF=.

【解析】

（1）先利用等角的余角相等即可得出結論；

（2）先判斷出△BDC∽△BCE得出比例式求出BE=4，DE=3，利用勾股定理求出CD，CE，再判斷出△AFM∽△BAC，進而判斷出四邊形FNCA是矩形，求出FN，NC，即：BN，再用勾股定理求出BF，即可得出結論．

（1）∵∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠ACD=90°，

∵DE是⊙A的直徑，

∴∠DCE=90°，

∴∠BEC+∠CDE=90°，

∵AD=AC，

∴∠CDE=∠ACD，

∴∠BCD=∠BEC，

（2）∵∠BCD=∠BEC，∠EBC=∠EBC，

∴△BDC∽△BCE，

∴，

∵BC=2，BD=1，

∴BE=4，EC=2CD，

∴DE=BE﹣BD=3，

在Rt△DCE中，DE2=CD2+CE2=9，

∴CD=，CE=，

過點F作FM⊥AB于M，

∵∠FAB=∠ABC，∠FMA=∠ACB=90°，

∴△AFM∽△BAC，

∴，

∵DE=3，

∴AD=AF=AC=，AB=，

∴FM=，

過點F作FN⊥BC于N，

∴∠FNC=90°，

∵∠FAB=∠ABC，

∴FA∥BC，

∴∠FAC=∠ACB=90°，

∴四邊形FNCA是矩形，

∴FN=AC=，NC=AF=，

∴BN=，

在Rt△FBN中，BF=，

在Rt△FBM中，sin∠ABF=.