Question

【題目】如圖，是一副學生用的三角板，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠B＝30°；在△A1B1C1中，∠C1＝90°，∠B1A1 C1＝45°，∠B1＝45°，且A1B1＝CB．若將邊A1C1與邊CA重合，其中點A1與點C重合．將三角板A1B1C1繞點C（A1）按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過的角為α，旋轉(zhuǎn)過程中邊A1C1與邊AB的交點為M，設AC＝a．

（1）計算A1C1的長；

（2）當α＝30°時，證明：B1C1∥AB；

（3）若a＝，當α＝45°時，計算兩個三角板重疊部分圖形的面積；

（4）當α＝60°時，用含a的代數(shù)式表示兩個三角板重疊部分圖形的面積．

（參考數(shù)據(jù)：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣，sin75°＝，cos75°＝，tan75°＝2+）

Answer 1

【答案】（1）A1C1＝；（2）見解析；（3）兩個三角板重疊部分圖形的面積＝3+3；（4）兩個三角板重疊部分圖形的面積＝．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，由特殊銳角三角函數(shù)值，先求得BC的長，然后在Rt△A1B1C1中利用特殊銳角三角函數(shù)即可求得A1C1的長；
（2）利用三角形的外角的性質(zhì)求得∠BMC=90°，然后利用同位角相等，兩直線平行進行判定即可；
（3）兩個三角板重疊部分圖形的面積=△A1B1C1的面積-△BC1M的面積；
（4）兩個三角板重疊部分圖形的面積=．

（1）在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝a，

由特殊銳角三角函數(shù)可知：，

∴BC＝．

∴B1 A1＝

在Rt△A1B1C1，∠B1＝∠45°，

∴．

∴A1C1＝．

（2）∵∠ACM＝30°，∠A＝60°，

∴∠BMC＝90°．

∴∠C1＝∠BMC．

∴B1C1∥AB．

（3）如下圖：

由（1）可知：A1C1＝＝＝3+

∴△A1B1C1的面積＝

∵∠A1B1C1＝45°，∠ABC＝30°

∴∠MBC1＝15°

在Rt△BC1M中，C1M＝BC1tan15°＝（3+）（2﹣）＝3﹣，

∴Rt△BC1M的面積＝＝（3+）（3﹣）＝3．

∴兩個三角板重疊部分圖形的面積＝△A1B1C1的面積﹣△BC1M的面積＝3+3．

（4）由（1）可知：BC＝，A1C1＝，

∴C1F＝A1C1tan30°＝a，

∴=×a×a=

∵∠MCA＝60°，∠A＝60°，

∴∠AMC＝60°

∴MC＝AC＝MA＝a．

∴C1M＝C1A1﹣MC＝．

∵∠MCA＝60°，

∴∠C1A1B＝30°，

∴∠C1MD＝∠B+∠C1A1B＝60°

在Rt△DC1M中，由特殊銳角三角函數(shù)可知：C1D＝C1Mtan60°＝a，

∴＝C1MC1D=a2，

兩個三角板重疊部分圖形的面積＝a2