Question

(1)如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊(不含端點(diǎn)B、C)上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN＝90°，求證：AM＝MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE＝MC，連ME．正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE．

(下面請(qǐng)你完成余下的證明過(guò)程)

(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN＝60°時(shí)，結(jié)論AM＝MN是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，請(qǐng)你作出猜想：當(dāng)∠AMN＝________°時(shí)，結(jié)論AM＝MN仍然成立．(直接寫(xiě)出答案，不需要證明)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM，∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝1355°， 　　∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135° 　　在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN 　　(2)仍然成立． 　　在邊AB上截取AE＝MC，連接ME 　　∵△ABC是等邊三角形， 　　∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°， 　　∴∠ACP＝120°． 　　∵AE＝MC，∴BE＝BM 　　∴∠BEM＝∠EMB＝60° 　　∴∠AEM＝120°． 　　∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°， 　　∴∠AEM＝∠MCN＝120° 　　∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM 　　∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN 　　(3)