(1)如圖,在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點(diǎn)B、C)上任意一點(diǎn),P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),N是∠DCP的平分線上一點(diǎn).若∠AMN=90°,求證:AM=MN.
下面給出一種證明的思路,你可以按這一思路證明,也可以選擇另外的方法證明.
證明:在邊AB上截取AE=MC,連ME.正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.
(下面請(qǐng)你完成余下的證明過(guò)程)
(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖),N是∠ACP的平分線上一點(diǎn),則當(dāng)∠AMN=60°時(shí),結(jié)論AM=MN是否還成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”,請(qǐng)你作出猜想:當(dāng)∠AMN=________°時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立.(直接寫(xiě)出答案,不需要證明)
解:(1)∵AE=MC,∴BE=BM,∴∠BEM=∠EMB=45°,∴∠AEM=1355°, ∵CN平分∠DCP,∴∠PCN=45°,∴∠AEM=∠MCN=135° 在△AEM和△MCN中:∵ (2)仍然成立. 在邊AB上截取AE=MC,連接ME ∵△ABC是等邊三角形, ∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°, ∴∠ACP=120°. ∵AE=MC,∴BE=BM ∴∠BEM=∠EMB=60° ∴∠AEM=120°. ∵CN平分∠ACP,∴∠PCN=60°, ∴∠AEM=∠MCN=120° ∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM ∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN (3) |
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D、
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BM |
MF |
1 |
2 |
1 |
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S△FMN |
S四邊形EFNB |
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