Question

【題目】已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在正方形的頂點(diǎn)D處，使三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，猜想CE與AF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）在（1）的條件下，若DE：AE：CE=1： ：3，求∠AED的度數(shù)；
（3）若BC=4，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連結(jié)DM，DM與AC交于點(diǎn)O，當(dāng)三角板的一邊DF與邊DM重合時(shí)（如圖2），若OF= ，求CN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：CE=AF；

在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，F(xiàn)D=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90°

∴∠ADF=∠CDE，

∴△ADF≌△CDE，

∴CE=AF

（2）

證明：設(shè)DE=k，

∵DE：AE：CE=1： ：3

∴AE= k，CE=AF=3k，

∴EF= k，

∵AE2+EF2=7k2+2k2=9k2，AF2=9k2，

即AE2+EF2=AF2

∴△AEF為直角三角形，

∴∠BEF=90°

∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°

（3）

證明：∵M(jìn)是AB中點(diǎn)，

∴MA= AB= AD，

∵AB∥CD，

∴ = ，

在Rt△DAM中，DM= = =2 ，

∴DO= ，

∵OF= ，

∴DF= ，

∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，

∴△DFN∽△DCO，

∴ ，

∴ ，

∴DN= ，

∴CN=CD﹣DN=4﹣ =

【解析】（1）由正方形額等腰直角三角形的性質(zhì)判斷出△ADF≌△CDE即可；（2）設(shè)DE=k，表示出AE，CE，EF，判斷出△AEF為直角三角形，即可求出∠AED；（3）由AB∥CD，得出 = ，求出DM，DO，再判斷出△DFN∽△DCO，得到 ，求出DN即可．