Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在線段BC、CD上有動點F、E，點F以每秒2cm的速度，在線段BC上從點B向點C勻速運動；同時點E以每秒1cm的速度，在線段CD上從點C向點D勻速運動．當點F到達點C時，點E同時停止運動．設點F運動的時間為t（秒）．

（1）求AD的長；
（2）設四邊形BFED的面積為y，求y 關于t的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)自變量取值范圍；
（3）點F、E在運動過程中，如△CEF與△BDC相似，求線段BF的長．
（4）以BF為半徑的圓B與以DE為半徑的圓D如果相切，直接寫出t的值．

Answer 1

解：（1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，
所以BD=8cm．
因為AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD．
在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD==，
所以AD=BDcos∠ADB=8×=（cm）．
　　　　　
（2）如圖2，過點E作EH⊥AB，垂足為H．
在Rt△CEH中，CE=t，sin∠C=，
所以EH=CE sin∠C=t．
∵△BCD的面積為24，
∴S_△CEF=CF•EH=（10-2t）×t=-t²+4t，
所以y=S_△BCD-S_△CEF=24-（-t²+4t）=t²-4t+24（0＜t＜5）；

（3）①如圖3，當∠CEF=90°時，
∵BD⊥CD，
∴BD∥EF，
∴．
∴．
解得．
此時（cm）．
②如圖4，當∠CFE=90°時，
∵∠C=∠C，∠BDC=∠EFC，
∴△EFC∽△BDC，
∴．
所以．
解得．此時（cm）．
　　　　　　　　
（4）如圖5，當以BF為半徑的圓B與以DE為半徑的圓D相外切，
DE=DC-EC=6-t，BF=2t，
則BD=BF+DE=2t+6-t=8，
解得：t=2（秒）．
當以BF為半徑的圓B與以DE為半徑的圓D相內切，
DE=DC-EC=6-t，BF=2t，
則BD=BF-DE=2t-（6-t）=8，
解得：t=（秒）．
故當t的值為2秒與秒時，以BF為半徑的圓B與以DE為半徑的圓D相切．
分析：（1）利用勾股定理求出BD的長，再利用cos∠ADB=cos∠CBD=進而求出AD的長即可；
（2）首先用t表示出EH的長以及FC的長，進而利用y=S_△BCD-S_△CEF得出函數(shù)關系即可；
（3）分別利用①如圖3，當∠CEF=90°時，②如圖4，當∠CFE=90°時，利用相似三角形的性質求出即可；
（4）分別利用當兩圓相外切或內切，利用外切時圓心距=r+R，內切時圓心距=R-r，得出答案即可．
點評：此題主要考查了相且兩圓的性質以及相似三角形的判定與性質以及銳角三角函數(shù)等知識，根據(jù)已知畫出圖象進行分類討論得出是解題關鍵．