Question

【題目】如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別在，上，連接.

(1)將沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，如圖1，若，求的長(zhǎng)；

(2)將沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，如圖2，若.

①求的長(zhǎng)；

②求四邊形的面積；

(3)若點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，問：是否存在以、為對(duì)邊的平行四邊形，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①；②；(3)存在，或6.

【解析】

（1）先判斷出S△ABC=4S△AEF，再求出AB，判斷出Rt△AEF∽△Rt△ABC，得出，代值即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出四邊形AEMF是菱形，再判斷出△CME∽△CBA得出比例式，代值即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

解：(1)∵沿折疊，折疊后點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在中，∵，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即：，

∴；

(2)①∵沿折疊，折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，

∴，，，

∴，∴，

∴，

∴四邊形是菱形，

設(shè)，則，，

∵四邊形是菱形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，

即：，

②由①知，，，

∴；

(3)①如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

∵與是平行四邊形的對(duì)邊，

∴，，

由對(duì)稱性知，，，

∴，

設(shè)，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，，

∴，，

在中，，

∴，

∴，

即：；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)交于，

同理：，，

在中，，

∴，

∴，

∴，

即：或6.