Question

【題目】問題探究
（1）請在圖①的正方形ABCD的對角線BD上作一點P，使PA+PC最小；

（2）如圖②，點P為矩形ABCD的對角線BD上一動點，AB=2，BC=2 ，點E為BC邊的中點，求作一點P，使PE+PC最小，并求這個最小值．

（3）如圖③，李師傅有一塊邊長為1000米的菱形ABCD采摘園，AC=1200米，BD為小路，BC的中點E為一水池，李師傅現(xiàn)在準(zhǔn)備在小路BD上建一個游客臨時休息納涼室P，為了節(jié)省土地，使休息納涼室P到水池E與大門C的距離之和最短，那么是否存在符合條件的點P？若存在，請作出的點P位置，并求出這個最短距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，

連接AC交BD于P，則AP+CP最小=AC

（2）解：如圖②，作點C關(guān)于BD的對稱點C'交BD于F，連接C'E交BD于P，則PE+PC最小=C'E．

∵BD是矩形ABCD的對角線，

∴CD=AB=2，∠BCD=90°，

在Rt△BCD中，CD=2，BC=2 ，

∴tan∠CBD= = = ，

∴∠CBD=30°，

由對稱知，CC'=2CF，CC'⊥BD，

∴∠CFD=90°，

∴∠BCF=60°，∠DCF=30°，

在Rt△CDF中，CD=2，∠DCF=30°，

∴CF= ，

∴CC'=2CF=2 ，

∵點E為BC邊的中點，

∴CE= BC= ，

∴CF=CE，

連接EF，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF=CF=C'F，

∴△CEC'是直角三角形，

在Rt△CEC'中，CC'=2 ，CE= ，

∴C'E=3，

∴PE+PC最小為3

問題解決

（3）解：如圖③，菱形ABCD的對角線相交于點O，

∴OC=OA= AC=600，AC⊥BD，

在Rt△BOC中，OB= =800，

過點E作EF⊥AC于F，

∴EF∥OB，

∵點E是BC的中點，EF= OB=400，

∵CE= BC=500，

根據(jù)勾股定理得，CF= =300，

∴AF=AC﹣CF=1200﹣300=900，

連接AE交BD于P，

即：PC+PE最小=AE，

在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得，AE= =100 ，

【解析】（1）依據(jù)連點之間線段最短可知當(dāng)點P在AC和BD的交點處AP+PC有最小值；
（2）作點C關(guān)于BD的對稱點C'交BD于F，連接C'E交BD于P，則PE+PC最小=C'E，然后再證明△CEC'是直角三角形，最后，再利用勾股定理求解即可；；
（3）連接AE交BD于P，過點E作EF⊥AC，再利用三角形的中位線求出EF，接下來，再利用勾股定理求出CF，最后在Rt△AEF中利用勾股定理即可．
【考點精析】關(guān)于本題考查的菱形的性質(zhì)，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能得出正確答案．