Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=CB，AD=CD，點M位對角線BD（不含點B）上任意一點，△ABE是等邊三角形，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．
（1）求證：△AMB≌△ENB；
（2）①直接回答：當(dāng)點M在何處時，AM+CM的值最小？
②當(dāng)點M在何處時，AM+BM+CM的值最�。空堈f明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BE，∠ABE=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB，∠MBN=60°，然后求出∠MBA=∠NBE，再利用“邊角邊”證明△AMB和△ENB全等即可；
（2）①根據(jù)兩點之間線段最短解答；
②連接CE，當(dāng)點M位于BD、CE的交點處時，AM+BM+CM最�。�在圖中標注角，根據(jù)“邊邊邊”證明△ABD和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2，再求出∠1=∠3，從而得到∠2=∠3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與等邊三角形的三條邊都相等求出BC=BE，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠4=∠5，然后利用“角邊角”證明△EBN和△CBM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BN=BM，根據(jù)（1）的結(jié)論可得AM=EN，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BMN是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BM=MN，從而求出AM+BM+CM=EN+MN+CM，最后根據(jù)兩點之間線段最短解答．
解答：證明：（1）∵△ABE是等邊三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°，
由旋轉(zhuǎn)知，MB=NB，∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，
即∠MBA=∠NBE，
在△AMB和△ENB中，，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；

（2）①根據(jù)“兩點之間線段最短”，連接AC，當(dāng)點M位于BD與AC的交點處時，AM+CM最�。�

②連接CE，當(dāng)點M位于BD、CE的交點處時，AM+BM+CM最小．
理由如下：如圖，連接CE交BD于點M，連接AM，在EM上取一點N，使∠MBN=60°，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠1=∠2，
∵∠MBN=∠ABE=60°，
∴∠MBN-∠A∠=∠ABE-∠ABN，
即∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵AB=BC，AB=BE，
∴BC=BB，
∴∠4=∠5，
在△EBN和△CBM中，，
∴△EBN≌△CBM（ASA），
∴BN=BM，
∴此時BN由BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，
由（1）知：△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，BM=BN，
∴△BMN是等邊三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
∴根據(jù)“兩點之間線段最短”可知當(dāng)點M位于BD、CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及兩點之間線段最短的性質(zhì)，先判斷出點M所處的位置是解題的關(guān)鍵．