Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線頂點(diǎn)為，且該拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）.我們規(guī)定：拋物線與軸圍成的封閉區(qū)域稱(chēng)為“區(qū)域”（不包含邊界）；橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn).

（1）求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；

（2）如果拋物線經(jīng)過(guò).

①求的值；

②在①的條件下，直接寫(xiě)出“區(qū)域”內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（3）如果拋物線在“區(qū)域”內(nèi)有4個(gè)整點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②6個(gè)；（3）或.

【解析】

（1）將拋物線改寫(xiě)為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①將（1,3）代入，即可求出的值；②根據(jù)函數(shù)圖像可判斷出整數(shù)的個(gè)數(shù)；

（3）分和兩種情況討論，根據(jù)有4個(gè)整點(diǎn)畫(huà)出圖像，可求出 的取值范圍.

（1）∵，

∴該拋物線的頂點(diǎn)為.

（2）①∵拋物線經(jīng)過(guò)，

∴，解得.

②當(dāng)時(shí)，，

令y=0，則，解得，，

設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，則A（-1,0），B（3,0），拋物線圖像如下圖所示，

當(dāng)時(shí)，，所以（0,1）和（0,2）兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“區(qū)域”，

當(dāng)時(shí)，，所以（1,1）和（1,2）兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“區(qū)域”，

當(dāng)時(shí)，，所以（2,1）和（2,2）兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“區(qū)域”，

綜上所述，此“區(qū)域”內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6個(gè).

（3）當(dāng)時(shí)，，

∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，-3a），

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

若，則函數(shù)圖像如下圖所示，

由圖像可知，如果拋物線在“區(qū)域”內(nèi)有4個(gè)整點(diǎn)，

則，解得：；

若，則函數(shù)圖像如下圖所示，

由圖像可知，如果拋物線在“區(qū)域”內(nèi)有4個(gè)整點(diǎn)，

則，解得：.

綜上所述，如果拋物線在“區(qū)域”內(nèi)有4個(gè)整點(diǎn)，則的取值范圍為或.