Question

已知如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F，∠ADE＝∠ACB，求證：．

Answer 1

答案：
解析：

分析：不能直接證明三角形相似得到所證結(jié)論．需添加輔助線尋找過(guò)渡比． 　　思路1　作DG∥BC交AC于G(下圖)，由∠AGD＝∠ACB＝∠ADE及∠DAG＝∠EAD知△ADG∽△AED，于是，又，所以． 　　思路2　作DH∥AC交BC于H(下圖)，由∠DHB＝∠ACB＝∠ADE及∠BDH＝∠EAD知△BDH∽△EDA，于是，又∠FHD＝∠FDB(等角的補(bǔ)角相等)及∠HFD＝∠DFB知△FHD∽∠FDB，于是，又，所以． 　　思路3　作EI∥AB交BC于I(下圖)，則∠FDB＝∠FEI，由∠ADE＝∠ACB及∠A＝∠CEI知△ADE∽△ECI，于是，又由∠FCE＝∠FDB(等角的補(bǔ)角相等)知∠FEI＝∠FCE，∠F為公共角，△FEI∽∠FCE，于是，所以． 　　思路4　作EJ∥CB交AB于J(下圖)，由∠ADE＝∠ACB＝∠AEJ及∠DAE＝∠EAJ知△ADE∽△AEJ，于是，又由∠EDJ＝∠FCE(等角的補(bǔ)角相等)，∠DEJ＝∠F知，所以． 　　思路5　作CK∥BA交DF于K(下圖)，則∠FDB＝∠FKC且；由∠FCE＝∠FDB(等角的補(bǔ)角相等)知∠FCE＝∠FKC，∠F為公共角，△FKC∽△FCE，于是，所以． 　　思路6　作CL∥FD交AB于L(下圖)，則∠CLB＝∠FDB，，由∠ADE＝∠ACB及∠LAC＝∠CAB知△LAC∽△CAB，于是，由∠FDB＝∠FCE(等解的補(bǔ)角相等)知∠CLB＝∠FCE，又∠LCB＝∠CFE，得到△CLB∽△FCE，于是，所以． 　　思路7　作AM∥FB交FD的延長(zhǎng)線于M(下圖)，由∠MDA＝∠MAE(等角的補(bǔ)角相等)及∠DMA＝∠AME知△MDA∽MAE，于是＝又，＝，所以． 　　思路8　作AN∥DF交BF的延長(zhǎng)線于N(下圖)，由∠ADE＝∠ACB及∠DAE＝∠CAB知△ADE∽△ACB，于是＝，由∠NCA＝∠NAB(等角的補(bǔ)角相等)及∠ANC∠BNA知△NAC∽△NBA，于是＝，又＝所以，． 　　思路9　作BP∥CA交FD的延長(zhǎng)線于P(下圖)，則＝，由∠FDB＝∠FBP(等角的補(bǔ)角相等)及∠DFB＝∠BFP知△FDB∽△FBP，于是＝，由∠FDB＝∠FCE(等角的補(bǔ)角相等)及∠DFB＝∠CFE知△FDB∽△FCE，于是＝，所以＝． 　　思路10　作BQ∥DF交AC的延長(zhǎng)線于Q(下圖)，則＝，且∠ADE＝∠ABQ，由∠ADE＝∠ACB知∠ACB＝∠ABQ，又∠CAB＝∠BAQ，得到△ACB∽△ABQ，于是＝，又＝，所以＝． 　　思路11　作FS∥CA交BA的延長(zhǎng)線于S(下圖)，則＝，且∠ACB＝∠SFB，由∠ADE＝∠ACB知∠ADE＝∠SFB，又∠DSF＝∠FSB，得到△SDF∽△SFB，于是＝，由∠FDB＝∠FCE(等角的補(bǔ)角相等)及∠DFB＝∠CFE知△DFB∽△CFE，于是＝，所以＝． 　　思路12　作FT∥AB交AC的延長(zhǎng)線于T(下圖)，則＝，且∠ADE＝∠TFE，又由∠ADE＝∠ACB＝∠TCF知∠TCF＝∠TFE，∠T為公共角，得到△TCF∽△TFE，于是＝，所以＝．