Question

【題目】如圖，點(diǎn)P在∠MAN內(nèi)，PA平分∠MAN，PB⊥AM于點(diǎn)B，PC⊥AN于點(diǎn)C，點(diǎn)D是射線AM上點(diǎn)B右側(cè)的一個(gè)定點(diǎn)．

（1）作經(jīng)過A，P，D三點(diǎn)的圓；（保留作圖痕進(jìn)，不寫作法）

（2）設(shè)圓與AN交于點(diǎn)E，∠MAN＝60°，PA＝4，求AE+AD的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）作AP和AD的垂直平分線，兩條直線的交點(diǎn)即為過A、P、D三點(diǎn)的圓心；

（2）連接PE、PD證明△PCE與△PBD全等即可求解．

解：（1）如圖所示：

作AP和AD的垂直平分線，兩條線相交于點(diǎn)O，

以點(diǎn)為圓心，OA為半徑的圓即為所求作的圖形；

（2）連接PE、PD，

∵PA平分∠MAN，PB⊥AD于點(diǎn)B，PC⊥AN于點(diǎn)C，

∴PB＝PC，

在圓中，∵∠EAP＝∠DAP，

∴PE＝PD，

在△PCE和△PBD中，

∵∠PCE＝∠PBD＝90°，PB＝PC，PE＝PD．

∴Rt△PCE≌Rt△PBD（HL）．

∴CE＝BD．

∵∠MAN＝60°，PA平分∠MAN，

∴∠PAB＝30°，PA＝4，

∴AB＝2，

∴AE+AD＝2AB＝4．