Question

（2010•廣州一模）已知：在四邊形ABCD中，AB=4cm，點E，F(xiàn)，G，H分別按A→B，B→C，C→D，D→A的方向同時出發(fā)，以1cm/秒的速度勻速運動．在運動過程中，設四邊形EFGH的面積為S平方厘米，運動時間為t秒（0≤t≤4）．
（1）當四邊形ABCD為正方形時，如圖1所示，求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）當四邊形ABCD為菱形，且∠A=30°時，如圖3所示．在運動過程中，四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，易得AE=BF=CG=DH，又由四邊形ABCD是正方形，可得∠A=∠B=90°，AB=DA，進而可得四邊形EFGH是菱形，又由∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE可得∠FEH=90°，可證四邊形EFGH是正方形；
（2）根據題意，易證△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延長線于N，設運動t秒后，四邊形EFGH的面積S取最小值，則AE=t，AH=4-t，又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，可得HM與AH的關系，四邊形EFGH的面積與t的關系，其關系式為二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質，易得答案．
解答：解：（1）
①∵點E，F(xiàn)，G，H在四條邊上的運動速度相同
∴AE=BF=CG=DH（1分）
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=DA，
∴EB=HA
∴△AEH≌△BFE（SAS）（2分）
∴EH=FE（全等三角形的對應邊相等）
同理可得：EH=FE=GF=HG
∴四邊形EFGH是菱形．（3分）
又∵∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE
∴∠BEF+∠AEH=90°
∴∠FEH=90°
∴四邊形EFGH為正方形．（有一個角是直角的菱形是正方形）（4分）

（2）四邊形EFGH的面積存在最小值，理由如下：（9分）
由條件，易證△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延長線于N，
設運動t秒后，四邊形EFGH的面積S取最小值，則AE=t，AH=4-t，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴．
同理得．
故，
．（11分）
又S_{正方形ABCD}=4×2=8，（12分）
∴四邊形EFGH的面積．（13分）
∴S=（t-2）²+4，
當t=2秒時，四邊形EFGH的面積取最小值等于4cm²．（14分）
點評：本題考查正方形、菱形、三角形的判定與性質．注意熟練掌握性質，結合題意，全面分析．