(1997•山東)已知A為拋物線y=
3
x2-2
3
x+
3
的頂點(diǎn),B為該拋物線與y軸的交點(diǎn),C為x軸上一點(diǎn).設(shè)線段BC、AC、AB的長(zhǎng)度分別為a、b、c,當(dāng)a+c=2b時(shí),求:
(1)經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線的解析式;
(2)三角形ABC的面積.
分析:(1)首先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而假設(shè)出C點(diǎn)位置,利用C點(diǎn)可能在A點(diǎn)右側(cè)或左側(cè)分別求出C點(diǎn)坐標(biāo)即可;
(2)根據(jù)(1)中所求得出三角形ABC的面積即可.
解答:解:(1)∵y=
3
x2-2
3
x+
3
=
3
(x-1)2
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,0),
∵B為該拋物線與y軸的交點(diǎn),
∴x=0時(shí),y=
3
,即B點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,
3
),
當(dāng)C點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè),設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為:(x,0),
則AC=x-1,AB=
BO2+AO2
=2,BC=
3+x2
,
∵a+c=2b,
∴2(x-1)=2+
3+x2
,
整理得出:3x2-16x+13=0,
解得:x1=
13
3
,x2=1(此時(shí)A,C重合不合題意舍去),
如圖所示:
當(dāng)C′點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè),設(shè)C′點(diǎn)坐標(biāo)為:(z,0),
則AC′=1-z,AB=
BO2+AO2
=2,BC′=
3+z2

∵a+c=2b,
∴2(1-z)=2+
3+z2

整理得出:3z2=3,
解得:x1=-1,x2=1(此時(shí)A,C重合不合題意舍去),
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,0)或(
13
3
,0),
∴當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,
3
),
C點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,0),
帶入解析式y(tǒng)=kx+b,
b=
3
-k+b=0
,
解得:
b=
3
k=
3
,
∴經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線的解析式為:y=
3
x+
3

∴當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,
3
),
C點(diǎn)坐標(biāo)為:(
13
3
,0),
帶入解析式y(tǒng)=ax+c,
c=
3
13
3
a+c=0

解得:
c=
3
a=-
3
3
13
,
∴經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線的解析式為:y=-
3
13
13
x+
3
;

(2)∵當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,
3
),C點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,0)時(shí),
∴AC′=2,∴S△ABC=
1
2
BO×AC′=
1
2
×2×
3
=
3
,
當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,
3
),C點(diǎn)坐標(biāo)為:(
13
3
,0)時(shí),
∴AC=
13
3
-1=
10
3
,
∴S△ABC=
1
2
BO×AC=
1
2
×
3
×
10
3
=
5
3
3
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形面積求法等知識(shí),根據(jù)分類討論的思想得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)若ED:AD=
3
4
cos2α,求作一個(gè)以
DB
AD
CD
AD
為根的一元二次方程,并求出
BD
CD
的值.

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