(1997•山東)已知A為拋物線y=
3
x2-2
3
x+
3
的頂點,B為該拋物線與y軸的交點,C為x軸上一點.設線段BC、AC、AB的長度分別為a、b、c,當a+c=2b時,求:
(1)經(jīng)過B、C兩點的直線的解析式;
(2)三角形ABC的面積.
分析:(1)首先求出二次函數(shù)的頂點坐標以及圖象與y軸交點坐標,進而假設出C點位置,利用C點可能在A點右側(cè)或左側(cè)分別求出C點坐標即可;
(2)根據(jù)(1)中所求得出三角形ABC的面積即可.
解答:解:(1)∵y=
3
x2-2
3
x+
3
=
3
(x-1)2,
∴A點坐標為:(1,0),
∵B為該拋物線與y軸的交點,
∴x=0時,y=
3
,即B點坐標為:(0,
3
),
當C點在A點右側(cè),設C點坐標為:(x,0),
則AC=x-1,AB=
BO2+AO2
=2,BC=
3+x2
,
∵a+c=2b,
∴2(x-1)=2+
3+x2
,
整理得出:3x2-16x+13=0,
解得:x1=
13
3
,x2=1(此時A,C重合不合題意舍去),
如圖所示:
當C′點在A點左側(cè),設C′點坐標為:(z,0),
則AC′=1-z,AB=
BO2+AO2
=2,BC′=
3+z2
,
∵a+c=2b,
∴2(1-z)=2+
3+z2
,
整理得出:3z2=3,
解得:x1=-1,x2=1(此時A,C重合不合題意舍去),
∴C點坐標為:(-1,0)或(
13
3
,0),
∴當B點坐標為:(0,
3
),
C點坐標為:(-1,0),
帶入解析式y(tǒng)=kx+b,
b=
3
-k+b=0

解得:
b=
3
k=
3
,
∴經(jīng)過B、C兩點的直線的解析式為:y=
3
x+
3
,
∴當B點坐標為:(0,
3
),
C點坐標為:(
13
3
,0),
帶入解析式y(tǒng)=ax+c,
c=
3
13
3
a+c=0

解得:
c=
3
a=-
3
3
13
,
∴經(jīng)過B、C兩點的直線的解析式為:y=-
3
13
13
x+
3
;

(2)∵當B點坐標為:(0,
3
),C點坐標為:(-1,0)時,
∴AC′=2,∴S△ABC=
1
2
BO×AC′=
1
2
×2×
3
=
3
,
當B點坐標為:(0,
3
),C點坐標為:(
13
3
,0)時,
∴AC=
13
3
-1=
10
3
,
∴S△ABC=
1
2
BO×AC=
1
2
×
3
×
10
3
=
5
3
3
點評:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及三角形面積求法等知識,根據(jù)分類討論的思想得出C點坐標是解題關鍵.
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(2)若ED:AD=
3
4
cos2α,求作一個以
DB
AD
CD
AD
為根的一元二次方程,并求出
BD
CD
的值.

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