某數(shù)學活動小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質時,經歷了如下過程:

[操作發(fā)現(xiàn)]

在等腰三角形ABC中,ABAC,分別以ABAC為斜邊,向△ABC的外側作等腰直角三角形,如圖4­2­47(1),其中DFAB于點F,EGAC于點G,MBC的中點,連接MDME,則下列結論:①AFAGAB;②MDME;③整個圖形是軸對稱圖形;④∠DAB=∠DMB.其中正確的是____________(填序號即可).

[數(shù)學思考]

在任意△ABC中,分別以ABAC為斜邊,向△ABC的外側作等腰直角三角形,如圖4­2­47(2),MBC的中點,連接MDME,則MDME具有怎樣的數(shù)量和位置關系?請給出證明過程.

[類比探索]

在任意△ABC中,仍分別以ABAC為斜邊,向△ABC的內側作等腰直角三角形,如圖4­2­47(3),MBC的中點,連接MDME,試判斷△MED的形狀.

答:____________________.

    

(1)        (2)        (3)


解:[操作發(fā)現(xiàn)]①②③④

[數(shù)學思考]MDME,MDME.證明如下:

圖18

MDME.

如圖18,分別取AB,AC的中點F,G,連接DF,MF,MGEG,

MBC的中點,

MFAC,MFAC.

又∵EG是等腰直角三角形AEC斜邊上的中線,

EGAC,且EGAC.

MFEG.

同理可證DFMG.

MFAC,

∴∠MFA+∠BAC=180°.

同理可得∠MGA+∠BAC=180°.

∴∠MFA=∠MGA.

又∵EGAC,∴∠EGA=90°.

同理可得∠DFA=90°.

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA+∠EGA,

即∠DFM=∠MGE.又MFEGDFMG,

∴△DFM≌△MGE(SAS).∴MDME.

MDME.

如圖18,設MDAB交于點H,

ABMG,∴∠DHA=∠DMG.

又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH

即∠DHA=∠FDM+90°.

∵∠DMG=∠DME+∠GME,∴∠DME=90°.

MDME.

[類比探究]等腰直角三角形


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(2)在(1)的條件下,解答下列問題;

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圖4­2­36

  

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